정지 문제가 3 차원 1 차원 세포 오토마타에 대해 결정 가능한가?

3 기호 1 차원 셀룰러 오토마타에 대해 정지 문제가 결정 가능한지 알아 내려고 노력했습니다.

정의 하자 의 시간 단계에서 시스템의 구성을 나타내는 . 보다 공식적으로 여기서 는 알파벳입니다.$f(w,i)$$i$$f:A^*\times \mathbb{N} \to A^*$$A$

정의. 셀룰러 오토 마톤은 구성에 정지 된 , 만약 우리가있다 .$f(w,i)$$\forall k\in \mathbb{N}$$f(w,i)=f(w,i+k)$

주어진 세포 오토 마톤의 정지 문제는 다음과 같습니다.

입력 : 유한 단어 질문 : 몇 가지 상태에서 기계적으로 정지 ?$w$
$s$

기본 셀룰러 오토마타 (2 개의 기호 포함)가 여기 에 정의되어 있습니다 . 나는 두 종류의 기호가 아닌 3 개의 기호가있는 CA의 경우에 관심이 있다는 것을 제외하고는 같은 종류의 celullar automata에 중점을 둡니다.

이제부터는 형식으로 규칙을 표시합니다 . 즉, 3 개의 인접한 심볼이 그 아래에 다른 심볼을 생성합니다.$***\to*$

정지 문제는 기초적인 2- 심볼 세포 오토마타에 대해 결정될 수있다

내가 사용하는 흰색 세포 및 표시하기 위해 검은 색을 나타 내기 위해.$0$$1$

, , 규칙이 있으면 오토 마톤이 멈추지 않을 것입니다. 첫 번째 규칙을 사용하면 그리드가 무한하기 때문에 항상 블랙 셀을 생성하는 3 개의 흰색 셀이 생깁니다. 두 번째 규칙과 세 번째 규칙을 사용하면 단어가 측면으로 확장되고 오토 마톤이 멈추지 않습니다.001 → 1 100 → $000 \to 1$$001 \to 1$$100 \to 1$

나머지 경우에는 단계 동안 진화시켜 중단되는지 확인할 수 있습니다. 그것이 멈 추면, 멈추고, 멈추고, 그렇지 않으면 어떤 조합을 반복하고 루프에 갇혀 있기 때문에 멈추지 않는다고 결론 내릴 수도 있습니다.$2^n$

내가 3 심볼 케이스에 대해 알아 낸 것

규칙 또는 가 있으면 중단되지 않습니다 . 그러나 및 형식의 측면 규칙은 분석하기가 더 어렵습니다. 규칙 및 어떻게됩니까?000 → 2 00 X → Y X 00 → Y 002 → 1 001 → $000 \to 1$$000 \to 2$$00x \to y$$x00 \to y$$002 \to 1$$001 \to 0$

내가 생각해 낸 것은 다음과 같습니다.

이러한 규칙의 모든 조합을 고려하십시오.

1. 002 → $001 \to 0$ 및$002 \to 0$
2. 002 → $001 \to 0$ 및$002 \to 1$
3. 002 → $001 \to 0$ 및$002 \to 2$
4. 002 → $001 \to 1$ 및$002 \to 0$
5. 002 → $001 \to 1$ 및$002 \to 1$
6. 002 → $001 \to 1$ 및$002 \to 2$
7. 002 → $001 \to 2$ 및$002 \to 0$
8. 002 → $001 \to 2$ 및$002 \to 1$
9. 002 → $001 \to 2$ 및$002 \to 2$

대칭형이기 때문에 형식의 규칙에 대한 사례를 쓰지 않았습니다 .$x00 \to y$

따라서 첫 번째 경우 측면 기호 규칙이 0을 생성하기 때문에 입력 단어가 측면으로 확장되지 않는 것이 분명합니다.

5, 6, 8, 9의 경우 입력 단어가 확장되므로 오토 마톤이 멈추지 않는 것이 분명합니다.

사례 2,3,4,7이 더 흥미 롭습니다. 먼저 사례 2는 사례 7과 유사하고 사례 3은 사례 4와 유사합니다. 따라서 간결성을 위해 사례 2와 3을 고려해 봅시다.

케이스 3이 더 쉽기 때문에 먼저 사례 3을 고려하겠습니다.

우리는이 및 . 입력 단어의 첫 번째 또는 마지막 기호가 이면 오토 마톤이 멈추지 않는다는 결론을 내릴 수 있습니다. 그들이하지만 '1', 우리는 특히에 마지막 또는 첫번째 문자를 설정할 수 있습니다 규칙에서의 살펴 보자, 더 많은 물건을보고해야한다 우리가 사람들을,이 경우 그들은 생산이 할 다음 후하기 때문에, , 우리 오토 마톤이 멈추지 않는다는 결론을 내릴 수 있습니다. (단어가 옆으로 확장됩니다).002 → 2 2 2 $001 \to 0$$002 \to 2$$2$$2$$2$

고려해야 할 모든 조합은 다음과 같습니다.

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
........... etc

위의 표에서 첫 번째 트리플이 있으면 어떻게되는지에 대한 설명

그리드에 라는 단어 가 있습니다. 첫 번째 및 마지막 기호는 입니다. 위의 규칙 , , (첫 번째 트리플) 이 있다고 가정 해 봅시다 . 그런 다음 각 단계마다 입력 단어가 2 기호 씩 작아 질 것입니다.이 규칙은 첫 번째 기호와 마지막 기호를 지우기 때문에 어느 시점에서 가 나오면 규칙 가 단어를 만듭니다 한쪽 또는 다른 쪽 (또는 둘 다)으로 자라면 오토 마톤은 멈추지 않습니다. 따라서,이 경우에 우리는 오토 마톤이 단계를 수행 하도록 할 수 있으며 , 단어가 비게되면 오토 마톤은 멈추고 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.1 010 → 0 011 → 0 012 → 0 2 002 → 2 | 승 | /$w$$1$$010 \to 0$$011 \to 0$$012 \to 0$$2$$002 \to 2$$|w|/2$

일반화 사례 3

나는 그것을 일반화하고 우리가 단순히 오토 마톤이 단계를 수행하도록 할 수 있고 , 그 단계 중 하나에서 우리가 첫 번째 또는 마지막 기호로 를 가지면 오토 마톤이 멈추지 않는다는 것을 알았습니다. 이것이 발생하지 않고 오토 마톤이 여전히 정지하지 않으면 일부 구성이 반복되므로 루프에 멈춰 멈추지 않습니다. 정지하면 정지합니다.$3^n$$2$

내가 붙어있는 곳

이제 사례 2를 고려해 봅시다.

및 규칙이 있습니다 .$001 \to 0$$002 \to 1$

그리고 여기에 내가 붙어서 무엇을 해야할지 모르겠습니다.

또한 시작하는 규칙 표를 작성했습니다 . 나는 그들이 분석해야 할 첫 번째 것으로 보였기 때문에 그것들을 썼습니다. 왜냐하면 우리가 첫 번째 또는 마지막 (또는 두 가지) 기호가 인 입력 단어가 있더라도 다음 단계에서 는 이 될 것 입니다. 그리고 형식의 규칙을 처리해야합니다 .$1$$2$$2's$$1$$01x \to y$

테이블은 다음과 같습니다.

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
 0   1   2
 0   2   0
 0   2   1
 0   2   2
 1   0   0
 1   0   1
 1   0   2
 1   1   0
 1   1   1
 1   1   2
 1   2   0
 1   2   1
 1   2   2
 2   0   0
 2   0   1
 2   0   2
 2   1   0
 2   1   1
 2   1   2
 2   2   0
 2   2   1
 2   2   2

27 개의 규칙 중 규칙이없는이 테이블의 트리플이 3 , 우리는 걱정할 필요가 없으며 단계 동안 자동 마토 톤을 진화시킬 수 있습니다. 사이드 규칙이 생성하지 않기 때문에 실제로 확장되지는 않습니다 .$2$$3^n$$2$

그러나 가있는 트리플을 보면 실제로 분석하기가 어렵고 단어가 확장되는지 여부는 입력 단어에 의존하는 것 같습니다.$2$

이 문제를 해결하는 방법을 알려주시겠습니까? 나는 이것에 머리를 감쌀 수 없다.

또는,이 3 개의 심볼 셀룰러 오토 마톤이 정지 문제가 결정 불가능한 것으로 판명 된 것으로 보인다면, 어떻게 그 것을 3 심볼 셀룰러 오토마타로 줄일 수 있습니까?

이 기사를 찾았습니다 : http://www.dna.caltech.edu/~woods/download/NearyWoodsMCU07.pdf 15- 심볼 셀룰러 오토마타에서 정지 문제가 결정 불가능하다는 것을 증명하는 방법을 보여줄 것입니다.

튜링 머신의 일반적인 지침을 살펴 보겠습니다.

1)$q,x\to p,y,L$

2)$q,x\to p,y,R$

첫 번째는 기계적 심볼 본다면 말한다 상태에서 , 우리는 대체 하여 상태로 전환 한 과, 두 번째는 같은 것을 말한다 왼쪽으로 이동하지만 바로 이동합니다.$x$$q$$x$$y$$p$

TM 알파벳이 이고 규칙 세트가 이고 상태 세트가 합니다. 이제 우리의 셀룰러 오토 마톤을위한 새로운 알파벳을 만들어 봅시다 : 입니다. 다시 말해, 새로운 알파벳에는 TM의 알파벳, TM의 상태 알파벳, 그리고 모든 상태 에 대해 규칙 이 포함되도록 를 포함 할 것 입니다.R Q Σ = A ⋃ Q ⋃ { q ′ | ∀ q ∃ r ∈ R , r = p , x → q , y , L } q p , x → q , y , L q $A$$R$$Q$$\Sigma=A\bigcup Q\bigcup \{q'|\forall q \exists r\in R, r=p,x\to q,y,L\}$$q$$p,x\to q,y,L$$q'$

자동 장치는 다음과 같은 방식으로 TM을 모델링합니다. CA 작업의 각 단계마다 CA 테이프에 TM의 상태 알파벳에서 하나의 기호가 있으며이 기호는 TM의 머리가 가리키는 기호를 나타냅니다. 다음과 같은 방법 : 상태 기호의 오른쪽에있는 기호는 TM의 머리가 가리키는 기호입니다. 예를 들어 문자열 를 생각해 보자. 이면 TM은 상태 이고 헤드는 기호 가리 킵니다 .$s=...xabqzyk...$$q\in Q$$q$$z$

TM의 동작을 어떻게 시뮬레이션 할 수 있는지 봅시다. 두 번째 것을 먼저 살펴 보자.

2)$q,z\to p,y,R$

우리가 문자열이있는 경우 그래서, 기본적으로, , 그것은으로 변환해야 . 다음 규칙을 오토 마톤에 추가하면 쉽게 달성 할 수 있습니다.$s=...xabqzyk...$$...xabypyk...$

$qz\alpha\to p, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

첫 번째 경우는 좀 더 복잡합니다.

1)$q,z\to p,y,L$

문자열 그래서 로 변환해야 하지만 할 수있는 방법이 아니다 , 우리는 국가와 기호에보고하여 TM 작업을 수행하기 때문에이 있지만 기호에 대해 알려주지 않고 상태 만 알려주므로이 왼쪽 이동을 2 단계로 수행합니다.$s=...xabqzyk...$$...xapbyyk...$$abq\to p$$abq$

첫 번째 단계:

$qz\alpha\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to p', \forall \alpha \in \Sigma$

두번째 단계:

$\alpha \beta p'\to p, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

$\alpha p' \beta\to \beta, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

TM에 규칙이없는 다른 모든 CA 규칙에 대해서는 다음을 작성합니다.

$\alpha \beta \gamma \to \beta, \forall \alpha,\beta,\gamma \in \Sigma$

CA에서 TM의 작업을 모델링하는 방법을 설명 했으므로 15 개의 심볼이 필요한 이유를 살펴 보겠습니다. 이 논문에서 내가 제공 한 링크 에는 6 개의 상태와 4 개의 기호 가있는 범용 TM 가 있습니다.$U_{6,4}$

따라서 모든 알파벳 기호 (4)와 6 인 모든 상태 기호 및 모든 상태 기호 가 필요하므로 규칙 이 있고 이므로 총 15 개의 심볼이 필요합니다. p , x → q , y , L u 1 , u 3 , u 4 , u 5 , u $q'$$p,x\to q,y,L$$u_1, u_3, u_4, u_5, u_6$

따라서 이제 우리가 알지 못하는 2에서 15 사이의 기호 (제외)가 있습니다.