“반대 문법”인 언어의 예 찾기

이라고하자 $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ . 언어 $L \subseteq \Sigma^*$ 는 회 문인 모든 문자열 $w$ 대해 경우 "반대 문 방지"속성이 있다고합니다 $w\notin L$ . 또한 회문 이 아닌 모든 문자열 $u$ 대해 또는 이지만 둘 다 (!) (제외 또는)는 아닙니다. $u\in L$ $\mathrm{Reverse}(u) \in L$

나는 반팔 문의 속성을 이해하지만이 속성이있는 언어를 찾을 수 없습니다. 내가 찾을 수있는 가장 가까운 것은 $\Sigma^* \setminus L$ 이지만 배타적 또는 부분이 없습니다. 예를 들어 $01$ 과 $10$ 은 모두 $L$ 입니다.

누구 든지이 특성을 가진 언어의 예를 들어 줄 수 있습니까? 또는 단일 예제 이상일 수도 있습니다. 언어에 어떤 종류의 제한이 있는지 알 수 없기 때문입니다. (비정규이어야합니까? 문맥이 없어야합니까? 아니면 조차도 아니어야합니다 $R$ .)

formal-languages

— 매릭 에스
소스

"이 속성이있는 언어를 찾을 수 없습니다." - 당신은이 있음을 가정하고, 속성을 부여하여 하나를 정의한 모든 조건을 충족 언어.

— Raphael

나는 그가 정의한 언어 클래스라는 것에 동의하지 않는다. 그것은 언어에 대해 잘 정의 된 정의를 구성하지 않습니다.

— Shreesh

답변:

한 예는 . $L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

그리고 또 다른 예 . $L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

아이디어는 이면 둘 중 하나만 선택하는 규칙을 만드는 것입니다. 회문을 기각해야하는 규칙을 선택해야합니다 ( , 회 문의 경우 가 있어야 ). 알파벳을 변경할 수도 있습니다. 이진 알파벳은 빠른 답변을 얻을 수 있습니다. $x \neq x^R$ $f(x) < f(x^R)$ $f(x)= f(x^R)$

및 는 규칙적이지 않습니다. 그리고 모든회문 방지언어는 규칙적이지 않으며 비 RE 언어만큼 나쁠 수 있습니다. 결정 불가능한 언어에 대한 고찰 :되도록 의 경우 모두 및 중지 또는 두 및 정지 달리 만약 $L$ $L'$ $L=\{x\ \ |\ \$ $binary(x)<binary(x^R)$ $x$ $x^R$ $\not\in$ $x$ $x^R$ $\in$ 중지 $x \in$ $\}$

Klaus Draeger 는 아래 주석 에서 답의 시작 부분에 주어진 반고 문법 언어는 문맥이 없다고 설명했다 : $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— 슈레 쉬
소스

알다시피, 모든 회문 방지 언어가 규칙적이지 않다는 것이 사실입니다. 그러나 그것이

있어야한다고 말할 수 있습니까? 이 아이디어를 확장하더라도 우리가 사용할 모든 주문 / 기능은

..right 의 TM으로 계산할 수 있기 때문에?

R

$R$

R

$R$

— Marik S.

@Marik 잘 정의되어 있지만 계산할 수없는 기능이 있습니다. 예를 들어 Halting 문제에서 M, w를 나타내는 숫자에서 [0,1]로 매핑합니다.

— Shreesh

네,하지만 같은 기능의 전체 순서를 정의 할 수있을 것이다

Σ^{*}

$\Sigma^*$

— Marik S.

예. 예를 들어

의 경우 모두

및

또는

정지 달리

또는

정지되어 어느

. 중지가 모두

이되도록

L = {x | x \neq x^{R}, b i n a r y (x) < b i n a r y (x^{R})

$L = \{x | x \neq x^R, binary(x) < binary(x^R)$

x

$x$

x^{R} \notin

$x^R \not\in$

\in

$\in$

x

$x$

x^{R}

$x^R$

}

$\}$

(M, w)

$(M,w )$

M

$M$

정지합니다 .

w

$w$

— Shreesh

그리고 대각선 화 언어를 사용하면 비 RE가됩니다.

— Shreesh

몇 가지 예를 생성하는 방법 :

@shreesh의 답을 바탕으로 모든 반 회문 언어는 에 대한몇 가지엄격한 전체 순서 .

L = {x | x < x^{R}} (*)

$L = \{ x \ |\ x < x^R \}\qquad (*)$

<

$<$

실제로, 회문 방지 주어지면 다음과 같이 관련 을 정의 할 수 있습니다 . 열거 을 취하여 시작 합니다. 여기서 각 단어는 정확히 한 번 발생합니다. 그런 다음 열거를 변경합니다. 각 비-회문 쌍에 대해 에 속하는 항목 이 다른 항목보다 먼저 나타나 도록 위치를 바꿉니다 . 새로운 열거는 전체 순서 만족 유도합니다 . $L$ $<$ $x_0,x_1,\ldots$ $\{0,1\}^*$ $x,x^R$ $L$ $<$ $(*)$

로 정의 된 모든 이 비 회문이라는 것은 사소한 것이기 때문에 는 비 회문 언어의 완전한 특성입니다. $L$ $(*)$ $(*)$

원래의 질문을 해결하면서, 우리는 orderings 을 만들어 안티-회문 언어 의 몇 가지 예를 얻을 수 있음을 알았습니다 . 우리는 또한 그렇게함으로써 우리가 언어의 하위 클래스로 제한하지 않고 일반성을 잃지 않는다는 것을 알고 있습니다. $L$ $<$

"이 언어는 규칙적 일 수 있습니까?"라는 질문에 대해 :

회문 방지 이 규칙적이지 않다는 것을 증명하기 위해 , 모순에 의해 규칙적이라고 가정하십시오. $L$

규칙은 반전 에 의해 유지 되므로 도 규칙적입니다. $L^R$
규칙은 노조에 의해 유지되기 때문에 모든 비 회 문의 집합 인 도 규칙적입니다. $L \cup L^R$
규칙은 보체에 의해 보존되므로 모든 회문은 규칙적입니다.

마지막 진술에서 펌핑을 통해 모순을 도출 할 수 있습니다. (예를 들어 솔루션을 보려면 여기 를 참조하십시오 )

— 치
소스

또는 DFA가 회문 언어를 받아들이려면 후반을 구문 분석하는 동안 문자열의 전반부를 고려해야하지만 DFA는 유한 한 수의 상태를 가지며 임의로 긴 문자열. 균형 괄호의 언어가 규칙적이지 않다는 것을 보여주는 동일한 추론입니다.

— 케빈

알지만

형식의 경우이 속성을 가진

이 있으면

은 모든 언어에 컨텍스트가 없음을 나타 냅니까? 또는 CFL이 아닌 경우

있어야 합니까? 모든 주문

은 TM을 사용하여

로 계산할 수 있기 때문 입니다.

L

$L$

L = {x | x < x^{R}}

$L=\{ x | x<x^R \}$

R

$R$

<

$<$

R

$R$

— Marik S.

@MarikS. 아래의 rici 문법은

문맥이 없을 수 있음을 증명합니다 . 나는 그러한 언어가 셀 수없이 많기 때문에 일부

은 비재 귀적 이라고 확신합니다. 위의 증거에서

와

사이에 어느 것을 먼저 넣을 것인지에 대해 셀 수없이 무한한 선택을 할 수 있으며 각 조합은 고유 한

제공합니다 . 따라서 이러한 언어의 카디널리티는

과 같으며 계산할 수 없습니다.

L

$L$

L

$L$

x

$x$

x^{R}

$x^R$

L

$L$

{0, 1}^{N}

$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$

— chi

그 가치가있는 것을 위해, 하나의 반고 문법 언어에 대한 간단한 문맥이없는 문법이 있습니다 :

\begin{aligned} S & \to 0 S 0 ∣ 1 S 1 ∣ 0 X 1 \\ X & \to ϵ ∣ X 0 ∣ X 1 \end{aligned}

$\begin{align} S &\to 0 S 0 \mid 1 S 1 \mid 0 X 1 \\ X &\to \epsilon \mid X 0 \mid X 1 \end{align}$

(실제로,이 언어는 @shreesh가 제안한 반 고대 언어로, 연산자보다 작을 때 사전 비교를 사용합니다.)

— 리치
소스

보다 명확한 설명은 다음과 같습니다.

L = {x 0 y 1 x^{R} | x, y \in {0, 1}^{*}}

$L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— Klaus Draeger