다항식 시간 튜링 머신 알고리즘은 최악의 경우 런타임이 입력 크기의 다항식 함수에 의해 제한되는 경우 효율적인 것으로 간주됩니다. 나는 강력한 교회 튜링 논문을 알고있다 :
Turing 머신에서 모든 합리적인 계산 모델을 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있습니다
그러나 나는 미적분학 알고리즘의 계산 복잡성을 분석하기위한 견고한 이론을 알지 못합니다.
알려진 모든 계산 모델에 대해 계산 효율성 개념이 있습니까? 계산 질문에만 유용하지만 계산 복잡성 질문에는 쓸모없는 모델이 있습니까?
답변:
내가 아는 한, 계산의 주요 모델은 λ 미적분, 튜링 머신 및 재귀 함수입니다. 입니다. 재귀 함수의 복잡성에 대한 상황을 알지 못하지만 복잡성에 쓸모가 없을 수도 있습니다.
매우 비효율적 인 기계는 아니지만 Turing 기계도 매우 훌륭한 복잡성 모델이라는 것은 우연의 일치라고 볼 수 있습니다. 자연스럽게 만든 것은 다항식 인 TM과 관련된 많은 변환이 있다는 것입니다. (유니버설 머신, 임의의 알파벳에서 이진 머신에 이르기까지 1 테이핑 머신 으로 테이핑 머신으로 시뮬레이션, PRAM 시뮬레이션 등 ) 다항식은 산술 연산 및 구성에 의해 안정적인 함수 클래스입니다. 복잡성 이론에 적합한 후보입니다.
순수한 λ- 미적분학 자체는 복잡성을 위해 쓸모가 없었습니다. 그러나 간단한 유형의 시스템 이 작동하여 일부 λ 용어에 대해 매우 쉬운 방식으로 종료를 보장 할 수있었습니다. 그런 다음 일부 다른 시스템 (시스템 T , F , ..)은 종료를 유지하면서 뛰어난 표현력을 허용했습니다.
효율성 또는 복잡성은 종료를 개선하고 논리와 밀접한 관련이있는 유형으로, 나중에 여러 클래스의 복잡성을 특징으로하는 가벼운 선형 논리 가되었습니다. ( 초등학교 , P 및 PSPACE 및 기타에 대한 일부 변형). 이 영역에 대한 연구는 매우 활발하며 이러한 복잡성 클래스에 국한되지 않으며 λ- 미적분에 국한되지도 않습니다 .
tl; dr : λ- 미적분은 계산 성, 종료 및 복잡성 이론에 유용했습니다.
그러나 신용이 필요한 곳으로 신용을주기 위해 튜링 기계는 복잡성을 정의하는 데 적합하고 만장일치가 없지만 PRAM과 같은 모델이 더 적합한 엄격한 경계가 아닌 "다항식"과 같은 느슨한 경계에만 적용됩니다.
표준 복잡성 모델에 λ- 미적분을 포함시키는 것에 관해, 여기 주제에 대한 (아주) 일부 신선한 연구의 요약이 있습니다. 그것은 제한된 형태의 β- 감소에 대한이 질문에 대한 답을 제공합니다. 기본적으로 표준 비용 모델의 복잡성은 헤드 리덕션 (이름 별 통화 및 값별 통화 전략 포함)으로 제한 될 때 β 감소 단계를 계산하는 것과 유사합니다 .
Beniamino Accattoli와 Ugo Dal Lago의 헤드 감소 에 대한 단일 비용 모델의 불일치 (WST2012, 절차 링크 )
λ- 미적분은 고차 기능 프로그램의 널리 계산 된 계산 모델이지만 직접적이고 보편적으로 인정되는 비용 모델은 없습니다. 결과적으로, λ- 말단을 정규 형태로 감소시키는 계산상의 어려움은 전형적으로 구체적인 구현 알고리즘에 대한 추론에 의해 연구된다. 여기서 우리는 헤드 감소가 기본 역학 일 때 단일 비용 모델이 실제로 변하지 않음을 보여줍니다. 이렇게하면 알려진 결과가 개선되어 약한 (값별 호출 또는 이름 별 호출) 감소 만 처리합니다. 불변은 명시 적 치환의 선형 미적분법에 의해 입증되며, 이는 λ- 미적분의 모든 헤드 감소 단계를보다 기본적인 대체 단계로 잘 분해하여 헤드 감소의 조합론을 추론하기 쉽게 만든다.