무작위로 녹을 수있는 힙-예상 높이

Randomized Meldable Heaps 에는 "meld"연산이 있으며, 삽입을 포함하여 다른 모든 연산을 정의하는 데 사용됩니다.

문제는 노드 가있는 트리의 예상 높이는 얼마입니까?$n$

Gambin and Malinkowski의 정리 1, Randomized Meladable Priority Queues (SOFSEM 1998, Progress of Computer Science vol. 1521, pp. 344–349, 1998; PDF )는이 질문에 대한 답을 증명합니다. 그러나 다음과 같이 쓸 수있는 이유를 이해하지 못합니다.

$$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$$

나를 위해 나무의 높이는

$$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$$

내가 확장 할 수 있습니다 :

$$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$$

두 하위 트리의 최대 높이가 k와 같은 $k$확률은 총 확률의 법칙을 사용하여 다시 작성할 수 있습니다.

$$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$$

결국 나는 얻는다 :

$$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$$

내가 붙어있는 곳입니다. I가 볼 수 다소 동일한 (단, 우리는 기껏해야 ) . 그러나 처음부터 수식으로 이어지는 것은 없습니다.$\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$$\frac{1}{2}$$\leq \frac{1}{2}$

하위 트리의 높이는 나에게 독립적이 아닌 것 같습니다.

도와 주셔서 감사합니다.

논문에서 는 높이가 아닙니다. 완전한 이진 트리에서 루트로부터 멀어 지도록 임의의 길이를가집니다 (모든 리프는 "아니오"라고 주장함).$h_Q$

또한 유도를 피할 수 있습니다. 특정 깊이의 잎 에서 끝날 확률 은 단지 입니다. 도보의 예상 길이는$d$$2^{-d}$

$$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$$

분포의 엔트로피는 크기.$|\text{leaves}(Q)|$