최대 흐름의 잔차 그래프

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최대 흐름 문제에 대해 읽고 있습니다 . 잔차 그래프의 직관을 이해할 수 없었습니다. 흐름을 계산할 때 뒤쪽 모서리를 고려하는 이유는 무엇입니까?

누구든지 잔류 그래프의 개념을 이해하도록 도울 수 있습니까?

무 방향 그래프에서 알고리즘은 어떻게 변경됩니까?

— csds
소스

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최대 흐름 문제 의 잔차 그래프에 대한 직관 이이 강의 에서 매우 잘 설명되어 있습니다. 설명은 다음과 같습니다.

다음 네트워크 대한 최대 흐름 문제를 해결하려고한다고 가정합니다 $G$ (각 레이블 는 가장자리 통해 밀린 $f_e/c_e$ 흐름 와이 가장자리 의 용량 를 모두 나타냄 ). $f_e$ $e$ $c_e$

욕심 많은 접근 방식은 다음과 같습니다.

임의 선택 를 증대 경로 소스 정점으로부터가는 싱크 정점 되도록 $P$ $s$ $t$ ); 즉, 모든 모서리에사용 가능한 용량이 있습니다. $\forall e \: (e \in P \rightarrow f_e \lt c_e$ $P$
이 경로를 통해 가능한 최대 유량 을 누릅니다 . 값은 의 병목 현상 에 의해 결정됩니다 . 즉, 사용 가능한 최소 용량의 가장자리입니다. 공식적으로, . $\Delta$ $\Delta$ $P$ $\Delta=\min_{e \in P} (c_e-f_e)$
기능 보강 경로가 없을 때까지 1 단계로 이동하십시오.

즉, 사용 가능한 용량이있는 경로를 찾고 해당 경로를 따라 흐름을 보내고 반복하십시오.

에서는 , 경험적 발견 위의 하나 개의 가능한 실행을 증대시키는 세 경로 , 및 이 순서대로. 이 경로는 각각 2, 2 및 1 개의 흐름 단위를 푸시하여 총 5 개의 흐름을 만듭니다. $G$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

이 순서대로 경로를 선택하면 최적의 솔루션이됩니다. 그러나 먼저 선택하면 (즉, 및 전에 ) 어떻게됩니까? $P_3$ $P_1$ $P_2$

우리는 블로킹 흐름 이라는 것을 얻습니다 . 더 이상 증강 경로가 없습니다. 이 경우 총 유량은 3이며 최적이 아닙니다. 이 문제는 가능하면 해결할 수 있습니다 실행 취소 작업을 (흐름을 허용함으로써, 즉는 이전의 반복 작업을 취소, 역으로 확인할 수) : 단순히 정점에서 흐름 뒤쪽의 2 개 단위를 밀어 정점에 같은 : $w$ $v$

허용 된 실행 취소 작업을 인코딩하는 것이 잔차 그래프 의 주요 목표입니다 .

네트워크 의 잔차 그래프 은 와 동일한 정점 세트 를 가지며 각 모서리 . $R$ $G$ $G$ $e=(u,v) \in G$

인 경우 용량 갖는 포워드 에지 . $e'=(u,v)$ $c_e-f_e$ $c_e-f_e \gt 0$
인 경우 용량 갖는 후방 가장자리 . $e''=(v,u)$ $f_e$ $f_e \gt 0$

예를 들어, 휴리스틱이 먼저 선택할 때 (즉, 블로킹 흐름을 얻을 때) 욕심 휴리스틱의 첫 번째 반복 후에 얻은 잔차 그래프 을 고려하십시오 . $R$ $P_3$

에서 로 2 단위의 흐름을 푸시 하는 실행 취소 조작 은 에서 에서 까지 전진 (증강) 경로로 인코딩됩니다 . $w$ $v$ $s$ $t$ $R$

일반적으로 :

잔차 그래프 에서 증강 경로 가 선택된 경우 : $P'$ $R$

에서의 전방 에지에 대응하는 모든 에지는 이용 가능한 용량을 갖는 에지를 사용함으로써 흐름을 증가시킨다. $P'$ $G$

에서 후진하는 에지에 대응하는 모든 에지 는 과거에 전방 방향으로 밀린 흐름을 취소한다. $P'$ $G$

이것이 Ford-Fulkerson 방법 의 기본 아이디어 입니다.

Ford–Fulkerson 방법은 위에서 설명한 욕심 많은 접근 방식과 정확히 같은 방식으로 진행되지만 잔차 그래프에 원래 경로가 아닌 확장 경로가 더 이상 없을 때만 중지됩니다. 잔차 그래프가 다음과 같은 최적 조건을 설정 하므로이 방법은 정확합니다 (즉, 항상 최대 유량을 계산 함) .

$G$ $f$ $G$ $s-t$

— 마리오 세르 베라
소스

Edmonds-Karp 알고리즘에 설명 된대로 가장 짧은 길이의 순서로 경로가 추가되는 예가 있습니까? 귀하의 카운터 예제에서 첫 번째 경로는 길이 3이며 더 짧은 (즉 2) 경로를 찾을 수 있으며 Edmonds-Karp를 수행하는 경우 먼저 추가됩니다.

— Roy

s - t

$s-t$

3

$3$

v

$v$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

w

$w$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, v_{2})

$(v_1,v_2)$

(w_{1}, w_{2})

$(w_1,w_2)$

2

$2$

v

$v$

w

$w$

v_{1}

$v_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, w_{2})

$(v_1,w_2)$

당신의 예는 말이됩니다. 절단의 다른 모서리에서 그래프를 늘려 해당 모서리를 최단 경로 중 하나에 둘 수 있습니다.

— Roy

3

$A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$

— 바나 흐 타르 스키
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