최소한의 반전을 유지하면서 목록에 효율적으로 삽입

두 개의 비교 가능한 항목 목록 (u 및 s)을 가정하십시오. INV (u)를 u의 반전 수로 둡니다.

INV (u)의 최소 증가로 s 항목을 u에 삽입하는 효율적인 알고리즘을 찾고 있습니다.

기본적으로 첫 번째 목록의 순서를 유지하면서 개체를 "가능한 한 정렬 된 상태로"유지하면서 목록에 개체를 삽입하고 싶습니다.

예:

u = [4,6,2,9,7]
INV(u) = 3 ((4, 2), (6, 2) and (9, 7)

s = [8,3,10]

one optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 8, 9, 7, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (8,7))

different optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 9, 7, 8, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (9,8))

보시다시피 독특한 최적의 솔루션은 없습니다.

나는 어떤 종류의 아이디어 나 조사 방향이있어서 기쁘다.

이것은 trevore의 답변에 대한 설명입니다. 주석에 맞추기에는 너무 길고 그의 해결책의 증거 (또는 적어도 그것을 이해하는 방법)가 들어 있습니다.

최적의 솔루션에서 요소 가 순서대로 표시됨을 보여줄 수 있습니다 . $s$그렇지 않은 경우 라고 가정 하고 최적 솔루션에서 역순으로 나타납니다. 하자 σ 한 것은 사이 소자의 숫자 들 (1) 및 s의 2 미만이다 S 1 과 β 1 수보다 큰 이들의 숫자 들 $s_1 < s_2$$\sigma_1$$s_1$$s_2$$s_1$$\beta_1$$s_1$ . s 2에 대해 및 β 2를 유사하게 정의하십시오 . 참고 σ 1$\sigma_2$$\beta_2$$s_2$ 및 β 2 ≤ β 1 . 스와핑 S (1) 및 s의 2하는 의해 반전의 수를 변경한다 - β 1 + β 2 - σ 2 + σ 1 - 1 가장 -1이다.$\sigma_1 \leq \sigma_2$$\beta_2 \leq \beta_1$$s_1$$s_2$$-\beta_1 + \beta_2 - \sigma_2 + \sigma_1 - 1$

요소를 독립적으로 삽입 할 수 있다는 것을 알기가 어렵지 않습니다 . $s$그것들이 순서대로 나타나기 때문에, 의 요소들은 서로의 존재를 "느끼지"않습니다. 즉, s 의 요소 쌍은 반전 횟수에 영향을 미치지 않습니다. 그렇게하려면 s 의 중앙값을 선형 시간에 최적으로 삽입하십시오 . 그런 다음 재귀 적으로 중간의 왼쪽보다 중간 값보다 작은 s 요소와 오른쪽의 중간보다 큰 요소를 삽입 하십시오.$s$$s$$s$$s$

중간 위치에 삽입하자 이 만족의 실행, T ( | s의 | , | U | ) = T ( | s의 | / 2 , | U | - K ) + T ( | s의 | / 2 , K ) + | u | + | s | , 선형 | s $k$$T(|s|, |u|) = T(|s| / 2, |u| - k) + T(|s| / 2, k) + |u| + |s|$$|s|$요인은 중앙값을 찾아 의 요소를 섞습니다 . T ( | s | , | s | + | u | log | s | ) 를 유도하면 쉽게 알 수 있습니다.$s$$T(|s|, |u|) = O(|s| \log |s| + |u| \log |s|)$ 있습니다.

에 대한 의존 여기가 최적입니다. 빈 u 로 문제를 해결하는 것은 s 를 정렬하는 것과 같습니다.$|s|$$u$$s$ 단지 비교를 사용하여. 에 대한 의존 싱글 목록에 대한 문제가 있기 때문에, 최적의도 의 과 목록 u는 선형 작업을 필요로한다.$|u|$$s$$u$

좋아, 내 해결책은 다음과 같습니다.

관찰 (내가 ​​다소 입증 된)은 최적의 솔루션은 항상 s가 오름차순으로 정렬되는 솔루션이라는 것입니다. 이것은 O ((| u | + | s |) * log (| s |)) 알고리즘을 발생시킵니다.

단일 요소에 대한 최적의 솔루션을 찾으려면 내 의견에서 말한대로하십시오 : s에서 하나의 요소를 가져 와서 왼쪽에서 오른쪽으로 u의 각 요소와 비교하고 카운터가 반전되어 증분되고 이전에 계산 된 숫자를 넘깁니다. 그런 다음 동일한 요소를 사용하여 목록을 오른쪽에서 왼쪽으로 탐색하여 각 위치의 수를 늘립니다.

이것은 O (| u |)입니다.

s를 정렬하십시오.

위치 m에서 s의 중간 요소 : u에서 최상의 위치 b를 찾습니다 (위의 방법 사용).

s에서 m과 u를 b에서 나누고 왼쪽과 오른쪽 부분을 재귀 적으로 호출하여 결과를 m과 올바른 순서로 연결합니다.

u 또는 s가 비면 즉시 중지하십시오.