로그 복잡도에 대한 알고리즘 직감

I는 I 같은 복잡한 합리적인 이해가 판단 , Θ ( N ) 과 Θ ( N 2 ) .$\mathcal{O}(1)$$\Theta(n)$$\Theta(n^2)$

목록 측면에서 은 지속적인 조회이므로 목록의 머리를 얻는 것입니다. Θ ( n ) 은 전체 목록을 걷는 곳이며 Θ ( n 2 ) 는 목록의 각 요소에 대해 한 번 목록을 걷는 것입니다.$\mathcal{O}(1)$$\Theta(n)$$\Theta(n^2)$

파악 유사한 직관적 인 방법이 , 다른 하나는 그 사이 어딘가에 자리 잡고 단지 아는 것보다 O ( 1 ) 와 Θ ( N ) ?$\Theta(\log n)$$\mathcal{O}(1)$$\Theta(n)$

복잡성은 일반적 세분 접속된다. 목록을 예로 사용하는 경우 요소가 정렬 된 목록을 상상해보십시오. O ( log n ) 시간 으로이 목록에서 검색 할 수 있습니다 . 목록의 정렬 특성으로 인해 각 요소를 실제로 볼 필요는 없습니다.$\Theta(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

목록 중간에있는 요소를보고 검색 한 요소와 비교하면 배열의 왼쪽 또는 오른쪽 절반에 있는지 여부를 즉시 알 수 있습니다. 그런 다음이 절반을 가져 와서 찾을 때까지 절차를 반복하거나 사소하게 비교 한 1 개의 항목이있는 목록에 도달 할 수 있습니다.

목록이 각 단계를 효과적으로 반으로 나눈 것을 볼 수 있습니다. 즉 , 길이가 인 목록을 얻으면 한 항목 목록에 도달 해야하는 최대 단계는 5 입니다. 128 = 2 7 항목 의 목록이있는 경우 7 단계 만 필요 하고 1024 = 2 10 목록의 경우 10 단계 만 필요 합니다.$32$$5$$128 = 2^7$$7$$1024 = 2^{10}$$10$

보다시피, 2 n 의 지수 은 항상 필요한 단계 수를 나타냅니다. 이 지수를 정확하게 추출하기 위해 로그가 사용됩니다 (예 : log 2 2 10 = 10) . 또한 2의 거듭 제곱이 아닌 길이를 나열하도록 일반화합니다.$n$$2^n$$\log_2 2^{10} = 10$

(균형) 트리 측면에서 (이진 트리이므로 모든 는 기본 2입니다) :$\log$

• 은 나무의 뿌리를 얻고 있습니다$\Theta(1)$
• 은 뿌리에서 잎까지의 거리입니다.$\Theta(\log n)$
• $\Theta(n)$
• $\Theta(n^2)$
• $\Theta(n^k)$$k$$k$
• $\Theta(2^n)$$k=1,2, \ldots, n$

$O(\log n)$$n$

예를 들어, 이진 검색의 경우 각 비교 작업마다 문제 크기를 절반으로 줄일 수 있습니다.

$O(\log n)$$O(\log n)$$O(\log n)$$\log n$

십진수 로 변환하는 알고리즘을 생각해보십시오.$n$

while n != 0:
   print n%2, 
   n = n/2

while$\log(n)$

$\log(n)$$1$$n$$1$$n$$\log(n)$

$100$$2^{100}$$2^{100}$$2$$100$$100$$2^{100}$$2^{100}$$2^{100}$

$100$$2^{100}$$100$$2^{100}$$2$$100$$2^{100}$$100$$2^{100}$$\log(n)$$n$

지수와 로그는 어디에서 오는가? 컴퓨터 과학에 관심이 많은 이유는 무엇입니까? 눈치 채지 못할 수도 있지만 지수는 어디에나 있습니다. 신용 카드로이자를 지불 했습니까? 당신은 당신의 가정을 위해 우주를 지불했습니다 (나쁘지는 않지만 곡선이 맞습니다). 지수는 제품 규칙에서 비롯된 것이라고 생각하지만 다른 사람들은 더 많은 예제를 제공 할 수 있습니다. 제품 규칙은 무엇입니까? 그리고 나는 대답 할 것이다.

$A$$B$$C$$B$$C$$A$$C$$D$$C$$A$$D$$2\cdot 3\cdot 4$$24$$2^{10}$$1024$$2^{10}$$10$$10$$2^{10}$$10$$1024$

$\log_2(n)$$n$$n$$2^n$$2$$\log_b(n)$$b$$b$$n$$\log(n)$$n$$n$

$\log(n)$$n$

$O(\log n)$$x$

여전히 목록의 크기를 기반으로하지만 일부 요소 만 방문하면됩니다.

$\Theta(\lg^k n)$$\Theta(\lg^{k+1} n)$

$\Theta(1)$$\lg n$

이진 검색 알고리즘은 고전적인 예이다.

직감은 숫자를 반으로 줄일 수있는 횟수입니다. 예를 들어 n은 1로 줄이기 전에 O (lg n)입니다.

시각화하려면 이진 트리로 그림을 그려이 기하학적 진행을 해결하여 레벨 수를 계산하십시오.

2^0+2^1+...+2^h = n