그래프의 최소 스패닝 트리가 고유하지 않은시기

가중, 무 방향 그래프 G : G에 대해 여러 개의 최소 스패닝 트리 가 있도록 어떤 조건을 충족 해야 합니까?

MST는 모든 가중치가 고유 할 때 고유하지만이 설명을 되돌릴 수는 없습니다. 그래프에 가중치가 같은 멀티플 에지 가있는 경우 여러 MST가있을 수 있지만 하나만있을 수도 있습니다.

이 예에서 왼쪽의 그래프에는 고유 한 MST가 있지만 오른쪽에는 없습니다.

MST의 고유하지 않은 조건을 찾는 가장 가까운 것은 다음과 같습니다.

의 모든 고려 chordless의 최대 가중 모서리가 여러 번있는이 사이클의에서 그래프 G. 만약에 (다른 사이클을 포함하지 않는주기)주기를 다음 그래프는 고유의 최소 스패닝 트리가 없습니다.

내 생각은 이런주기에

n 개의 정점을 사용하면 모서리 중 하나를 그대로두고 모든 정점을 계속 연결할 수 있습니다. 따라서 MST를 얻기 위해 가장 높은 무게로 가장자리를 제거 할 수있는 여러 가지 선택이 있으므로 MST는 고유하지 않습니다.

그러나이 예제를 생각해 냈습니다.

이 그래프에는 내 조건에 맞는주기가 있음을 알 수 있습니다. (E, F, G, H) 볼 수있는 한 최소 스패닝 트리는 고유합니다.

따라서 내 상태가 올바르지 않은 것 같습니다 (또는 아마도 완전히 정확하지 않은 것 같습니다). 최소 스패닝 트리의 고유하지 않은 필수 조건을 찾는 데 도움을 주셔서 감사합니다.

첫 번째 그림에서 : 오른쪽 그래프는 총 가중치가 2 인 모서리 및 ( F , G ) 를 찍어 고유 한 MST를 갖습니다 .$(F,H)$$(F,G)$

그래프 주어 지고 M = ( V , F ) 가 G 의 최소 ​​스패닝 트리 (MST)가되게하십시오 .$G=(V,E)$$M=(V,F)$$G$

에지가 존재하면 가중치 w ( E ) = m 부가되도록 , 즉 우리 MST하려면 사이클 수율 C를 한하자 m이 도에서 낮은 에지 웨이트 될 F ∩ C 그런 다음 가장자리를 교체하여 두 번째 MST를 만들 수 있습니다.$e=\{v,w\}\in E \setminus F$$w(e)=m$$e$$C$$m$$F\cap C$ 에지 웨이트와 m 과 전자 . 따라서 우리는 독창성이 없습니다.$F\cap C$$m$$e$

이전 답변 은 여러 MST가 있는지 여부를 결정하는 알고리즘을 나타내며, G에 없는 각 에지 에 대해 e 를 사전 계산 된 MST 에 추가하여 생성 된주기를 찾고 e 가 해당주기에서 가장 무거운 에지가 아닌지 확인합니다 . 이 알고리즘은 O ( | E | | V | ) 시간 에 실행될 수 있습니다.$e$$G$$e$$e$$O(|E||V|)$

시간 복잡성 에 G의 MST가 여러 개 있는지 여부를 확인하는 간단한 알고리즘$O(|E|\log(|V|))$ 입니다.

$\ $1. 에서 Kruskal의 알고리즘을 실행 하여 MST를 찾습니다.$G$.$m$

$\ $2. 에서 Kruskal의 알고리즘을 다시 실행 하십시오. 우리는 동일한 무게의 가장자리 사이에 선택의 여지가 때마다이 실행에서, 우리는 먼저하지의 가장자리하려고합니다 m 우리가 가장자리 시도하는 후, m을 . m이 아닌 모서리가 서로 다른 두 개의 나무를 연결 한다는 것을 알 때마다 MST가 여러 개 있다고 주장하여 알고리즘을 종료합니다.$G$$m$$m$$m$

$\ $3. 여기에 도달하면 에 고유 한 MST가 있다고 주장합니다 .$G$

Kruskal 알고리즘을 정상적으로 실행하려면 시간이 걸립니다. m 이 아닌 추가 모서리 선택은 O ( | E | ) 시간 안에 수행 할 수 있습니다 . 따라서 알고리즘은 O ( | E | log ( | V | ) ) 시간 복잡성을 달성합니다.$O(|E|\log(|V|))$$m$$O(|E|)$$O(|E|\log(|V|))$

이 알고리즘이 MST가 여러 개인 지 왜 확인할 수 있습니까?

우리는 MST에 있다고 가정 과 동일하지 않습니다 m를 . 에서 실행되는 알고리즘 것을 보여주기 위해 충분하다 G가 아닌 2 단계의 끝에있는 가장자리부터 3 단계에 도달하지 않습니다 m 우리가 크루스 칼의를 실행했고, 두 개의 서로 다른 나무를 연결하는이 결과 MST에 포함되었을 것입니다 알고리즘을 완성합니다. 하자 승 미만 계량 모든 에지있는 최대 무게하여야 w 그것이 인 m 이 인 경우에만, m ' . 왜냐하면 m 및 m은 ' 중량의 에지가 동일한 수 (W)를 , 중량의 에지가 존재$m'$$m$$G$$m$$w$$w$$m$$m'$$m$$m'$$w$ 그에 m ' 가 아니라에서 m . 해당 에지의 에지를 처리하기 전에 알고리즘이 종료 된 경우 완료됩니다. 그렇지 않으면, 알고리즘이그 에지들 중첫 번째 에지 e ' 를 처리한다고 가정하자. S를 결과 MST에 포함하기 위해 지금까지 보존 된 모든 모서리의 집합이라고하자. S ⊂ m . 알고리즘은 가중치의 최종 처리되지 에지 갖기 때문에 w 않고 m 과 같은 E ' , 그 중량의 에지를 처리하기 시작하지해야 승 에서 m이 . S의 모서리$w$$m'$$m$$e'$$S$$S\subset m$$w$$m$$e'$$w$$m$$S$ 보다 작은 무게 . 그것은 S ⊂ m '을 의미 합니다. 리콜 E ' 에 m을 ' . 이후 { 전자 ' } ∪ S ⊂ m ' , m은 ' 나무입니다 전자 ' 두 개의 서로 다른 나무에 연결해야합니다 S 이 시점에서와 알고리즘 종료.$w$$S\subset m'.$$e'$$m'$$\{e'\}\cup S\subset m'$$m'$$e'$$S$

추가 개발에 대한 참고 사항 더
큰 가중치의 에지를 처리하지 않고 알고리즘을 가능한 빨리 종료 할 수 있도록 1 단계와 2 단계를 인터리브 할 수 있습니다.
MST 수를 계산하려는 경우 확인할 수 있습니다. 를 계산하는 방법에 대한 답변을 .

G 하자$G$ 를 최소한 두 개의 꼭짓점이있는 (단순 유한) 모서리 가중치 비 지향 연결 그래프라고 . ST는 스패닝 트리를 의미하고 MST는 최소 스패닝 트리를 의미합니다. 덜 일반적인 용어를 먼저 정의하겠습니다.

• 일부 사이클에서 고유 한 가장 큰 모서리 인 경우 모서리는 고유 한주기입니다.
• 어떤 사이클에서도 가장 큰 에지가 아닌 경우 가장 사이클이 많지 않은 에지입니다.
• 가장자리가 일부 절단 부위를 가로 지르는 가장 밝은 가장자리 인 경우 가장자리가 가장 가벼워집니다.
• 가장자리가 절단을 가로 지르는 가장 밝은 가장자리가 아닌 경우 가장자리가 가장 가벼워집니다.
• 모든 보안 목표 명세서가 다른 보안 목표 명세서에없는 가장자리를 정확히 가지고 있다면 두 보안 목표 명세서는 인접 해있다.
• MST는 다른 MST에 인접하지 않은 경우 격리 된 MST입니다 (두 MST가 ST로 간주되는 경우).

최소 스패닝 트리가 두 개 이상인 경우는 언제입니까?

OP의 질문에 대답하기 위해 다음은 MST가 두 개 이상인 G의 5 가지 특성입니다$G$ .

• 인접한 두 MST가 있습니다.
• 분리 된 MST가 없습니다.
• ST는 모든 인접한 ST보다 밝거나 가볍고 하나의 인접한 ST만큼 가볍다.
• 고유 사이클이 많거나 사이클이 많지 않은 에지가 있습니다.
• 가장 가벼우면서도 가벼우 지 않은 가장자리가 있습니다.

이 답변의 참신함은 대부분 마지막 두 특성입니다. 마지막 특성 분석에서 두 번째 는 OP 접근 방식의 다음 단계로 간주 될 수 있습니다 . 처음 세 특성화는 dtt 's answer의 약간 향상된 버전으로 간주 될 수 있습니다 .

에 고유 한 MST가 있는지 여부를 반대로 생각하는 것이 더 쉽습니다 . 다음은 위 특성의 반대 버전입니다.$G$

최소 스패닝 트리는 언제 고유합니까?

정리 : 의 다음 속성 은 동일합니다.$G$

• MST의 고유성 : 고유 한 MST가 있습니다.
• 인접 MST 없음 : 인접 MST 가 없습니다.
• 하나의 분리 된 MST : 분리 된 MST가 있습니다.
• 하나의 로컬 최소 ST : 인접한 모든 ST보다 가벼운 ST가있다.
• 극단적 인 사이클 에지 : 모든 에지는 고유 사이클 중 또는 사이클 중이 아닙니다.
• 익스트림 컷 엣지 : 모든 엣지가 독창적으로 가장 가벼우면서도 가장 가벼움

여기 내 증거가 온다.

"MST의 고유성"=> "인접한 MST 없음": 명백합니다.

"인접한 MST 없음"=> "단일 된 MST": 명백합니다.

"One isolated MST"=> "하나의 로컬 최소 ST": 격리 된 MST는 인접한 모든 ST보다 가볍습니다.

"하나의 로컬 최소 ST"=> "극단 사이클 에지": 은 모든 인접한 ST보다 가벼운 ST로 하자 .$m$

• 모든 모서리는 주기가 무겁지 않아야합니다. 여기 증거가 있습니다. l 을 m 의 모서리로 하자 . 경우 난 어떤주기에 속하지 않는, 우리가 수행됩니다. l 이 사이클 c에 속 한다고 가정하자 . m 에서 l 을 제거하면 m 은 두 개의 트리로 분할되며 이름은 m 1 및 m 2 입니다. 커넥트가있는 사이클로 해요 1 및 해요 2 와 L , C는 커넥트가 다른 가장자리가 있어야 해요 1 및 $m$$l$$m$$l$$l$$c$$l$$m$$m$$m_1$$m_2$$m_1$$m_2$$l$$c$$m_1$ . 그 모서리의 이름을 l '로 지정하십시오 . m ' 을 m 1 , m 2 및 l ' 의 합집합이라고하자. 이것은 또한 G 의 스패닝 트리 여야한다. m 및 m ' 이 인접하기 때문에, m 은 m ' 보다 가볍다. 즉, l 은 l ' 보다 가볍습니다. 그래서 나는 사이클이 무겁지 않습니다.$m_2$$l'$$m'$$m_1$$m_2$$l'$$G$$m$$m'$$m$$m'$$l$$l'$$l$
• 아닌 모든 모서리 는 고유 사이클 무거워 야합니다. 여기 증거가 있습니다. h ' 를 m이 아닌 모서리 라고 하자 . h ' m 을 m에 추가 하면 사이클 c 가 생성됩니다 . h 는 c 에서 h ' 가 아닌 모서리라고 하자 . 스패닝 트리 고려 m ' 로 만든 m 와 시간이 대체 시간 ' . m 및 m ' 이 인접 하기 때문에 , m 은 m ' 보다 가볍다 . 그 의미는,$m$$h'$$m$$h'$$m$$c$$h$$c$$h'$$m'$$m$$h$$h'$$m$$m'$$m$$m'$ 는 h ' 보다 가볍습니다. 따라서 h ' 는 c 에서 가장 무거운 가장자리입니다. 즉, h ' 는 고유주기가 가장 무겁다.$h$$h'$$h'$$c$$h'$

"Local minimum ST"=> "Extreme cut edge": 교정은 연습으로 남습니다.

"Extreme cycle edge"=> "MST의 고유성": MST로 설정하십시오. e를 임의의 가장자리로 하자 . e 가 사이클이 무겁지 않은 경우 에는 m 을 포함해야합니다. 가장자리 e 가 고유 한 주기로 무거 우면 m 을 포함 할 수 없습니다. (이 두 가지 제안은 바로 위의 작업과 유사하게 사이클 및 엣지 교환을 사용하는 MST에 대한 표준 추론에 의해 입증 될 수 있습니다). 따라서 m 은 정확히 비 사이클 무거운 모서리의 집합입니다.$m$$e$$e$$m$$e$$m$$m$

"Extreme cut edge"=> "MST의 고유성": 실습으로 증명이 남습니다.

위의 연루가 정리를 증명합니다.

다시 한 번,이 답변의 참신함은 대부분 "익스트림 사이클 에지"속성과 "익스트림 컷 에지"속성입니다.이 속성은 사이클이 가장 무겁고 컷이 가장 가벼운 개념을 사용합니다. 나는 그 개념이 아주 자연 스럽지만 다른 곳에서는 보지 못했습니다.

다음은 두 가지 흥미로운 관찰 결과입니다.

• 모든 모서리 , e 는 사이클이 가장 무겁지 않으며 ⇔ e 는 고유하게 가장 가볍습니다 ⇔ e 는 모든 MST에 있습니다$e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$
• 모든 모서리 , e 는 고유 사이클이 가장 무겁고 ⇔ e 는 절단이 가장 가볍지 않습니다 ⇔ e 는 MST에 없습니다$e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$

고유 한 MST를위한 두 가지 충분하지만 필요하지 않은 조건

모든 사이클에서 가장 두꺼운 에지의 고유성은 "익스트림 사이클 에지"특성을 의미합니다. 충분한 상태입니다. 필요한 조건에 대한 반례는 가중치 그래프입니다 .$ab\rightarrow 1, bc\rightarrow 1, cd\rightarrow 1, da\rightarrow 2, ac\rightarrow 2$

모든 컷 세트에서 가장 밝은 에지의 고유성은 "익스트림 컷 에지"속성을 의미합니다. 충분합니다. 필요한 조건에 대한 반례는 가중치 삼각형입니다 .$1,1,2$