CLRS의 d-ary 힙 문제

다음 문제를 해결하는 동안 혼란스러워했습니다 (질문 1-3).

질문

D -ary 힙 이진 힙 유사하지만 (하나 개의 가능한 제외) 잎 이외의 노드는이 D 자녀 대신 2 명.

1. 배열에서 d- ary 힙을 어떻게 표현 하시겠습니까?

2. n 및 d 측면에서 n 요소 의 d- ary 힙 높이는 얼마입니까?

3. d -ary max-heap 에서 EXTRACT-MAX를 효율적으로 구현하십시오 . d 와 n의 관점에서 실행 시간을 분석하십시오 .

4. _{d -ary max-heap 에서 INSERT를 효율적으로 구현하십시오 . d 와 n의 관점에서 실행 시간을 분석하십시오 .}

5. _{INCREASE-KEY ( A , i , k )를 효율적으로 구현하여 k <A [i] = k 인 경우 오류를 표시 한 다음 d- ary 행렬 힙 구조를 적절하게 업데이트합니다 . d 와 n의 관점에서 실행 시간을 분석하십시오 .}

내 솔루션

1. 배열 $A[a_1 .. a_n]$

   $\qquad \begin{align} \text{root} &: a_1\\ \text{level 1} &: a_{2} \dots a_{2+d-1}\\ \text{level 2} &: a_{2+d} \dots a_{2+d+d^2-1}\\ &\vdots\\ \text{level k} &: a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k-1}d^i} \dots a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k}d^i-1} \end{align}$

   → 내 표기법이 약간 정교 해 보입니다. 더 간단한 것이 있습니까?

2. 하자 H는 의 높이를 나타내고, D -ary 힙.

   $$1+d+d^2+..+d^h=n\\ \dfrac{d^{h+1}-1}{d-1}=n\\ h=log_d[n{d-1}+1] - 1$$

3. 이것은 내 구현입니다.

   EXTRACT-MAX(A)
   1  if A.heapsize < 1
   2      error "heap underflow"
   3  max = A[1]
   4  A[1] = A[A.heapsize]
   5  A.heap-size = A.heap-size - 1
   6  MAX-HEAPIFY(A, 1)
   7  return max
   
   MAX-HEAPIFY(A, i)
   1  assign depthk-children to AUX[1..d]
   2  for k=1 to d
   3      compare A[i] with AUX[k]
   4      if A[i] <= AUX[k]
   5          exchange A[i] with AUX[k]
   6          k = largest
   7  assign AUX[1..d] back to A[depthk-children]
   8  if largest != i
   9      MAX-HEAPIFY(A, (2+(1+d+d^2+..+d^{k-1})+(largest-1) )
   

   • MAX-HEAPIFY의 실행 시간 :

     $$T_M = d(c_8*d + (c_9+..+c_13)*d +c_14*d)$$ $c_i$

   • $$T_E = (c_1+..+c_7) + T_M \leq C*d*h\\ = C*d*(log_d[n(d-1)+1] - 1)\\ = O(dlog_d[n(d-1)])$$

   → 이것이 효율적인 솔루션입니까? 아니면 내 솔루션에 문제가 있습니까?

1. 솔루션은 유효하며 d -ary 힙의 정의를 따릅니다 . 그러나 지적했듯이 표기법은 약간 정교합니다.

   당신의 부모 검색하는 사람들이 개 다음과 같은 기능을 사용할 수 있습니다 내가 번째 요소와 J 의 번째 아이 내가 번째 요소.

   $\text{d-ary-parent}({\it i}) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ \lfloor (i-2)/d + 1 \rfloor$

   $\text{d-ary-child}(i, j) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ d(i-1)+j+1$

   $1 \le j \le d$$\text{d-ary-parent}(\text{d-ary-child}(i,j)) = i$

   $d$$d=2$$d$$2$

2. $h = log_d(n\,d-1+1) - 1$$\log_d(n\,d) - 1 = \log_d(n) + \log_d(d) - 1 = \log_d(n) + 1 - 1 = \log_d(n)$$\Theta(\log_d(n))$

   $c$$\Theta$

3. $AUX$$\text{d-ary-parent}$$\text{d-ary-child}$

   $\text{EXTRACT-MAX}$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O(d\ \log_d(n(d-1)))$

   $O(d\ \log_d(n(d-1))) = O(d(\log_d(n) + \log(d-1))) = O(d\ log_d(n) + d\ \log_d(d-1))$

   $d \ll n$$d \log_d(d-1)$$O(d\log_d(n))$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O$$\Theta$

4. CLRS 책은 이미 INSERT 절차를 제공합니다. 이것은 다음과 같습니다

   $\text{INSERT}(A, key)\\ \ \ \ \ A.heap\_size = A.heap\_size + 1 \\ \ \ \ \ A[A.heap\_size] = -\infty\\ \ \ \ \ \text{INCREASE-KEY}(A, A.heap\_size, key)$

   $O(\log_d(n))$

5. INSERT와 마찬가지로 INCREASE-KEY도 교과서에 다음과 같이 정의됩니다.

   $\text{INCREASE-KEY}(A, i, key)\\ \ \ \ \ {\bf if}\ key < A[i]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf error} \text{"new key is smaller then current"}\\ \ \ \ \ A[i] = key\\ \ \ \ \ {\bf while}\ i > 1\ and\ A[i] > A[\text{d-ary-parent}(i)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ A[i] \leftrightarrow A[\text{d-ary-parent(i)}]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = \text{d-ary-parent(i)}$

   $O(\log_d(n))$

두 번째 질문에 대한 답은 h = log _d (n (d-1) + 1)-1입니다. 따라서 h = log _d (nd-n + 1)-1