서브 세트 합계를 파티션으로 줄이려면 어떻게해야합니까?

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어쩌면 이것은 매우 간단하지만이 축소를 얻는 데 어려움이 있습니다. Subset Sum 을 Partition 으로 줄이고 싶지만 현재 관계가 보이지 않습니다!

Levin Reduction을 사용하여이 문제를 줄일 수 있습니까?

이해가되지 않으면 설명을 작성하십시오!

complexity-theory np-complete reductions

— dbonadiman
소스

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하자 $(L,B)$ 서브 세트 합계의 인스턴스 $L$ 번호 목록 (MULTISET)이며, $B$ 목표 합이다. 이라고하자 $S = \sum L$ . 를 $L'$ 에 더한리스트 합시다 . $S+B,2S-B$ $L$

(1) 합산 된 서브리스트 이있는 경우 , 는 및 두 부분으로 나눌 수 있습니다 . 실제로 첫 번째 부분은 이고 두 번째 부분은 $M \subseteq L$ $B$ $L'$ $M \cup \{ 2S-B \}$ $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ $(S-B)+(S+B) = 2S$ 입니다.

(2) $L'$ 가 2 개의 동일한 부분 로 분할 될 수 있다면 합산되는 $P_1,P_2$ 의 서브리스트가 존재한다 . 실제로 이고 각 부분의 합이 이기 때문에 두 요소는 서로 다른 부분에 속합니다. 일반성의 손실없이 . 의 나머지 요소 에 속하는 $L$ $B$ $(S+B)+(2S-B) = 3S$ $2S$ $2S-B \in P_1$ $P_1$ $L$ 과 합산하십시오 $B$ .

— 유발 필름 러스
소스

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그러나 표준 부분 집합 합계 문제는 모든 정수를 사용하고 파티션 문제는 음이 아닌 정수만 사용합니다.

— gukoff

SUBSET-SUM은 음이 아닌 정수로도 NP- 완료됩니다. 예를 들어 3SAT에서의 감소는 음이 아닌 정수로 끝납니다. 또한 정수 SUBSET-SUM에서 음이 아닌 정수 SUBSET-SUM으로 직접 축소 될 수 있습니다.

— Yuval Filmus

1

예, 알고 있습니다.이 축소는 매우 쉽습니다. "기본"형식의 하위 집합 합계가 아니라는 점에 유의하십시오. :)

— gukoff

이면 작동합니까?

인

? 로

와 같이

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— 호기심

1

@Issam 이것은 PARTITION 인스턴스가 항상 솔루션

갖지 않을 것 입니다.

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— Yuval Filmus

1

@Yuval Filmus 가 언급 한 답변 이 올바르지 않습니다 (음수가 아닌 경우에만 정확합니다). 다음과 같은 다중 집합을 고려하십시오.

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

대상 합계이다 . 우리는 부분 집합이 없다는 것을 알고 있습니다. 이제 파티션 문제에 대한 인스턴스를 생성합니다. 추가 된 2 개의 새로운 요소는 및 입니다. 다중 집합은 이제 이고 총 합은 입니다. $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

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$20$

분할 문제는 부분 집합을 제공하는 답을 해결합니다. 여기서, 2 개의 새로운 요소는 동일한 부분 집합에 있습니다 (합을 반으로 나누는 다른 방법은 없습니다). 따라서 이것은 반대의 예입니다. 정답은 다음과 같습니다.

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

값이 인 요소를 추가하십시오 . 다중 집합의 총합은 이제 입니다. 합계의 두 부분 집합 줄 것 파티션 문제 해결 . 파티션 중 하나에 만 새 요소가 포함됩니다. 합이 인 다른 파티션을 선택하고 파티션 문제로 축소하여 부분 집합 문제를 해결했습니다. 이것이 링크가 설명하는 것입니다. $2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— 로 히트 쿠마르 예나
소스

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그러나 Yuval이 그의 답변에 대한 의견에서 언급했듯이 양의 정수로 제한하더라도 부분 집합 합계는 NP- 완전입니다. 따라서 음수가 없다는 것을 가정 할 수 있습니다.

— David Richerby

1

예, 양의 정수의 경우에도 부분 집합 합계가 NP- 완전하다는 데 동의합니다. 나는 정수에 대해 더 완벽한 증거를 제공하고있었습니다.

— Rohit Kumar Jena

1

"보다 완벽한 증거를 제공"하고 기존 답변이 잘못되었다고 잘못 주장합니다.

— David Richerby

1

음의 정수에서는 작동하지 않는다는 점에서 올바르지 않습니다. :) Peace :)

— Rohit Kumar Jena

1

다음은 간단한 증거입니다.

SET-PARTITION이 다항식 시간으로 검증 될 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 분할 $P_1,P_2$ 주어지면 단지 를 합산하고 그 합이 서로 다름인지 확인합니다. 이는 분명히 다항식 시간 검증입니다 (합산은 다항식 연산이므로 우리는 최대 $|X|$ 많은 합산 만 수행하기 때문입니다 ).

증거의 핵심은 SUBSETSUM을 PARTITION으로 줄이는 것입니다. 주어진 세트 $X$ 와 값 $t$ (하위 집합 합 쿼리)가 주어진 끝에 , 우리는 새로운 세트 $X'=X \cup \{s-2t\}$ 여기서 $s=\sum_{x \in X}x$ . 이것이 축소임을 확인하려면 다음을 수행하십시오.

( $\implies$ ) 와 같은 $S \subset X$ 가 있다고 가정 하면 우리는 $t=\sum_{x \in S}x$
$s - t = \sum_{x \in S \cup {s - 2 t}} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - t = \sum_{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 t})} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ $S\cup \{ s-2t \}$ 및 $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ 는 의 파티션을 형성 $X'$
( $\impliedby$ $P_1',P_2'$ $X'$ $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ $P_1$ $P_2$ $X$
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + 2 \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \sum_{x \in P_{1}} x = t$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

$t=\sum_{x \in S}x$ $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ $P_1',P_2'$ $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ and therefore the mapping $f:(X,t)\rightarrow X'$ is a reduction (because $(X,t)$ is in the language/set SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ is in the language/set PARTITION) and it is clear to see that the transformation was done in polynomial time.

— Pedrpan
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부분 집합 :

입력 : {a1, a2, ..., am} st M = {1..m} 및 ai는 음수가 아닌 정수이며 S⊆ {1..k} 및 Σai (i∈S) = t

분할:

입력 : {a1, a2, ..., am} 및 S⊆ {1, · · ·, m} st Σai (i∈S) = Σaj (j∉S)

Partition Np Proof : 검증자가 검증 자에게 파티션 (P1, P2)을 제공하면 검증자는 P1과 P2의 합을 쉽게 계산하고 선형 시간에서 결과가 0인지 확인할 수 있습니다.

NP_Hard : SubsetSum ≤p PARTITION

x에 SubsetSum을 입력하고 x = 〈a1, a2, ..., am, t〉를 입력하고 Σai (i에서 1에서 m까지) = a

사례 1 : 2t> = a :

f (x) = 〈a1, a2, ..., am, am + 1〉 (여기서 am + 1 = 2t−a)

x∈SubsetSum ⇔ f (x) ∈PARTITION 을 보여주고 싶습니다.

따라서 S⊆ {1, ..., m} st T = {1..m}-S 및 Σai (i∈T) = at

T '= {1 ... m, m + 1}-S이므로 Σaj (j∈T') = a-t + 2t-a = t

정확히 Σai (i∈S) = t이고 f (x) ∈PARTITION

이제 우리는 또한 f (x) ∈PARTITION ⇔ x∈SubsetSum

따라서 S⊆ {1, ..., m, m + 1}이 존재합니다. st T = {1, ..., m, m + 1}-S와 Σai (i∈T) = [a + (2t-a ) -t] = t

그리고 Σai (i∈T) = Σaj (j∈S)를 보여 주므로 m + 1∈T와 S⊆ {1, · · ·, m}과 Σai (i∈S) = t

그래서 x∈SubsetSum

사례 2 : 2t = <a :

우리는 동일하게 확인할 수 있지만 이번에는 am + 1은 a-2t입니다.

— 베 로즈 타베 쉬
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this link has a good description of both reductions, partition to subset-sum and subset-sum to partition. I think it is more obvious than YUVAL's answer. useful link

— user44970
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— Tom van der Zanden