공용체 유형을 갖는 람다 용어의 특성

많은 교과서는 람다 미적분의 교점 유형을 다룹니다. 교차에 대한 타이핑 규칙은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다 (하위 유형이있는 단순 유형 람다 미적분법 상단).

\frac{Γ ⊢ M : T_{1} Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \land T_{2}} (\land I) \frac{}{Γ ⊢ M : ⊤} (⊤ I)

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$

교차점 유형에는 정규화와 관련하여 흥미로운 속성이 있습니다.

람다 용어 는 강력하게 정규화되는 경우 $\top I$ 규칙 을 사용하지 않고 입력 할 수 있습니다 .
람다 용어는 함유하지 않는 형식 인정 $\top$ 는 정상 형태를 갖는다 IFF에있다.

교차로를 추가하는 대신 유니온을 추가하면 어떻게됩니까?

\frac{Γ ⊢ M : T_{1}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor I_{1}) \frac{Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor I_{2})

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_1) \qquad\qquad \dfrac{\Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_2)$

간단한 유형, 하위 유형 지정 및 조합을 가진 람다 미적분학에 흥미로운 유사한 속성이 있습니까? 노조로 대표되는 용어의 특징은 무엇입니까?

lambda-calculus type-theory logic

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스

흥미로운 질문입니다. OOP의 인터페이스가 이것에 해당한다고 말할 수 있습니까?

— Raphael

이 cs.cmu.edu/~rwh/courses/refinements/papers/Barbaneraetal95/…에

— Fabio F.

답변:

첫 번째 시스템에서 서브 타이핑이라고하는 것은 다음 두 규칙입니다.

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{1}) \frac{Γ, x : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{2})

$\dfrac{Γ, x:T_1 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_1)\quad\dfrac{Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_2)$

그것들은 제거 규칙에 해당한다 . 그것들이 없으면 결합 은 다소 쓸모가 없습니다. $∧$ $∧$

두 번째 시스템에서 (접속사와 및 우리는 또한 추가 할 수있는에, 규칙이 무관, 나는 당신이 마음에 따르고 있었다 첨부 규칙을 생각 하위 유형 위) : $∨$ $→$ $⊥$

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ M : S Γ, x : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \lor T_{2} ⊢ M : S} (\lor E) \frac{}{Γ, x : ⊥ ⊢ M : S} (⊥ E)

$\dfrac{Γ, x: T_1 \vdash M:S\quad Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∨ T_2 \vdash M:S}(∨E)\quad\dfrac{}{Γ, x: {⊥} \vdash M:S}({⊥}E)$

가치가있는 것을 위해,이 시스템은 ( 규칙 사용)를 입력 할 수 있습니다. 이것은 간단한 형식으로는 입력 할 수 없으며 정상적인 형식이지만 강력하게 정규화되지는 않습니다 . $(λx. I)Ω:A→A$ ${⊥}E$

임의의 생각 : (아마도 TCS에 요청할 가치가 있습니다)

이것은 관련 속성이 다음과 같다고 추측하게합니다.

λ 기간 형식이 함유되지 인정 IFF에 모두 정상적인 형태 갖는 일반적인 형태를 갖는다. ( 는 두 테스트에 모두 실패하지만 위의 λ- 기간은 통과합니다) $M$ $⊥$ $MN$ $N$ $δ$
λ-term 은 규칙 을 사용하지 않고 타이핑 할 수 있습니다. 이 모든 정규화 에 대해 강력히 정규화 됩니다. $M$ ${⊥}E$ $MN$ $N$

연습 : 틀렸다는 것을 증명하십시오.

또한 그것은 퇴화 된 사건 인 것 같습니다. 아마도 우리는 이 사람 을 그림에 추가하는 것을 고려해야 합니다. 내가 기억하는 한, 을 얻을 수 있습니까? $A ∨ (A → {⊥})$

— 스테판 기 메네즈
소스

하위 유형 지정 규칙에 대한 좋은 점은 조합 유형이 교차점 (화살표에 직교하여 입력 됨)만큼 자연스럽지 않다는 것을 보여줍니다. 두 번째 부분에 대해서는 좀 더 생각해야합니다.

— Gilles 'SO- 악마 그만해'

유니온 유형에 대해 이야기하고 있다면 가 운동에 응답 한다고 생각 합니다.

M = (λ x . x x) (λ y . y)

$M=(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$

— jmad

콜 / CC (Call / cc) : 람다 용어 나 다른 프레임 워크와 같은 단순한 람다 용어 이상이 필요하지만 형식 시스템은 더 복잡한 논리 시스템이며 통합 형식과 관련이 없을 수 있습니다.

— jmad

@jmad : 사실, 교차로 유형은이 용어를 입력 :-( 아마도 함께 통합 및 교차을 고려 흥미로운 일이 될 것입니다 필요합니까?

— 스테판 히메네스

나는 λ 용어에 관심이있을 것입니다. 유니온 유형 (교차 유형을 가진 rs)으로 입력 할 수 있지만 간단한 유형 (교차 유형을 가진 rs)으로는 입력 할 수 없습니다.

— jmad

교차 유형이 정규화 클래스 (강점, 헤드 또는 약점)를 특성화하는 데 왜 적합한 지 설명하고 싶지만 다른 유형 시스템은 그렇지 않습니다. (간단한 유형 또는 시스템 F).

"내가 입력 할 수있는 경우 : 키 차이가 무슨 말을해야한다는 것입니다 및 그때 입력 할 수 있습니다 ". 항을 복제 할 수 있기 때문에 비교 차 유형에서는 종종 그렇지 않습니다. $M_2$ $M_1→M_2$ $M_1$

(λ x . M x x) N \to M N N

$(\lambda x.Mxx)N → MNN$

을 입력 하면 모두 입력 할 수 있지만 동일한 유형 을 사용하여 입력 할 수는 없습니다 (예 교차 유형을 사용하여 그리고 중요한 단계는 이제 정말 쉽습니다 : 따라서 은 교차 유형으로 유형별로 지정할 수 있습니다. $MNN$ $N$

M : T_{1} \to T_{2} \to T_{3} N : T_{1} N : T_{2}

$M:T_1→T_2→T_3 \qquad N:T_1 \qquad N:T_2$

M : T_{1} \land T_{2} \to T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$M:T_1\wedge T_2→T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) : T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$(\lambda x.Mxx):T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) N

$(\lambda x.Mxx)N$

이제 유니온 타입에 대해 : 어떤 유니온 타입으로 를 입력하고 입력 한 다음 타입을 얻을 수 있다고 가정합니다 그러나 여전히 모든 에 대해 가 라고 해도 불가능하다는 것을 증명해야 합니다. $(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$ $\lambda x.xx$ $S, T_1, \dots$

x : T_{1} \lor T_{2} \lor \dots \lor T_{n} ⊢ x x : S

$x : T_1\vee T_2 \vee \dots \vee T_n ⊢xx:S$

i

$i$

x : T_{i} ⊢ x x : S

$x:T_i⊢xx:S$

S

$S$

이것이 노동 조합 유형의 정규화에 대한 쉬운 특성화가 없다고 생각하는 이유입니다.

— jmad
소스