여러 날의 과제 문제

과제 문제로 줄일 수있는 문제가 있습니다. (이전 질문에서 나는 그것을 수행하는 방법을 발견했습니다.)

이것은 비용 함수 뿐만 아니라 에이전트 세트 $A$ 와 태스크 세트를 가지고 있음을 의미 $T$ 합니다 . 총 비용이 최소화되도록 과제를 찾아야합니다. $c(i,j)$

헝가리어 알고리즘은 최소한의 최적의 솔루션 찾을 수 $O(n^4)$ . 나에게 좋은 소리.

나의 새로운 문제는 : 주어진 일수가 있습니다. 나는 모든 과제가 매일 수행 되고 어떤 요원도 동일한 과제를 두 번 수행하지 않도록 매일 과제 할당 문제를 해결해야한다 .

내가 시도한 것 : 매일 헝가리어 알고리즘을 별도로 실행하고 전날의 결과를 기반으로 가능한 조합 수를 제한 할 수 있습니다. 그러나 이것은 나중에 우리를 곤경에 빠지게 할 것인데, 아마도 가능한 해결책을 찾는 것이 불가능할 것입니다.

또 다른 아이디어는 현지 검색을 통합하여 전날의 의사 결정을 변경하는 것입니다. 그러나 나는 우리가 이것에 의존 할 수 없다고 생각합니다.

내가 직면해야 할 문제 사례는 어딘가에있을 것입니다 . 비용 행렬 는 동일한 값이 많이 있습니다 (예 : 대부분 1 또는 무한대, 2 또는 3에 불과). 따라서 헝가리어 알고리즘에는 하루 동안 다른 최적의 솔루션을 만들 수있는 공간이 많이 있습니다. $|A| = |T| = 500$ $C(i,j)$

몇 가지 아이디어를 듣거나 문제에 대한 좋은 해결책을 찾는 방법을 조언합니다. 미리 감사드립니다.

algorithms graph-theory assignment-problem

— 패트릭 슈미트
소스

이것은 좋은 질문입니다! 최소 비용 흐름, Hall의 결혼 정리 및 최대 이분법 일치를 사용하는 것이 좋습니다.

— 피터 쇼어

다항식 시간에는이 방법이 있습니다. 알고리즘을 스케치합니다 (역순으로 ... 2 단계를 먼저 수행하고 1 단계를 2 단계로 수행).

우리는 일련의 찾아 낼 수있는 경우에 에이전트 작업 쌍 이러한 각 작업 정확히에서 쌍을, 각 에이전트는 정확히에 쌍을, 어떤 쌍은 한 번 이상, 우리가 찾을 수 있습니다 더 나타납니다 할당 함께 이것들을 커버 $nk$ $(i,j)$ $k$ $k$ $k$ 에이전트 작업 쌍. 우리는 최대 이분자 매칭 알고리즘을 반복해서 사용하여 해당 이분 그래프에서 완벽한 매칭을 찾고 그래프에서 해당 할당을 제거합니다. 홀의 결혼 정리는 우리가 이것을 할 수 있도록 보장합니다. $nk$
최소 비용 흐름을 사용하여 1 단계에서와 같이 최소 비용의 에이전트 작업 쌍을 찾을 수 있습니다 . 소스와 네트워크 고려 , 싱크 작업의 각 에이전트와 각, 그리고 노드를. 용량이 이고 비용이 각 에이전트에 소스를 연결하십시오 . 용량 의 가장자리 와 비용이 각 작업을 싱크에 연결합니다 . 이제 용량 의 가장자리 와 비용 사용하여 에이전트 를 태스크 연결하십시오. $nk$ $s$ $t$ $k$ $0$ $k$ $0$ $i$ $j$ $1$ $c(i,j)$ . 이 네트워크의 최소 비용 흐름은 통합적이어야합니다 (모든 용량이 통합적이므로 최적의 통합 최소 비용 흐름이 있음을 암시하는 이론이 있음). 따라서 각 에이전트 작업 에지의 흐름 이고 또는 . 흐름이 모서리 는 단계에서 쌍 세트를 형성합니다. $0$ $1$ $(i,j)$ $1$

최소 비용 흐름을 해결할 수있는 많은 알고리즘이 있습니다 . 선형 프로그래밍의 특별한 경우입니다. 크기 문제의 경우 스케치하는 알고리즘은 다항식 시간뿐만 아니라 실용적이어야합니다.

— 피터 쇼어
소스

마지막 질문 : 2 단계의 최소 비용 흐름 알고리즘 (시작을 위해 사이클 취소를 선택했습니다)은 최적의 솔루션을 제공합니다. 1 단계의 최대 일치 알고리즘이이를 수행합니다. 이것이 반드시 전체 솔루션이 최적이라는 것을 의미합니까? 내 생각에 문제는 NP-Complete이라는 것이 었습니다.

— Patrick Schmidt

전체 솔루션이 최적입니다. 조합 최적화 과정에서 할당하는 것이 좋은 질문입니다.

— 피터 쇼어