양자 컴퓨터와 튜링 기계의 비교에 대한 참조

나는 양자 컴퓨터가 튜링 기계보다 계산적으로 더 강력하지 않다는 말을 들었습니다. 누군가가 그 사실을 설명하는 참고 문헌을 제공하는 데 친절하게 도움을 줄 수 있습니까?

— 목공 n
소스

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— Gilles 'SO- 악마 중지

답변:

실제로는 양자 컴퓨터가 계산할 수있는 모든 것, 튜링 기계도 계산할 수 있습니다. (이 방법에 전혀 논평없이 길이 는 양자 컴퓨터에 비해 기능을 계산하기 위해 튜링 기계를합니다.)

양자 계산을 이해하면 실제로보기가 어렵지 않습니다. 예를 들어, 전형적인 게이트 세트를 통한 양자 회로의 경우, 결과는 확률 분포에 의해 결정되는데, 이는 확률 행렬에 의해 결정된다. 이 단일 행렬은 게이트의 행렬 산물 일 뿐이며, 고전적인 컴퓨터로 충분히 인내심을 가지고 계산할 수 있습니다. 따라서 효율성과 달리 계산 효율성이 뛰어나므로 양자 컴퓨터를 사용하면 이점이 없습니다.

양자 역학에서 발생하는 전체의 과제는 그러한 계수 계산 될 수 있는지를 결정하는 것이다 효율적 들이 계산 될 수 있는지를보다 까다로운 문제이다, 전혀이 .

— 닐 드 보드 랩
소스

초급 지식은 양자 회로가하다 마드 행렬 변환을 나타낸다는 것을 말해 주지만, 고전 컴퓨터에서 임의의 행렬 계산을 수행하는 프로그래밍 가능성이 실제로 양자 회로를 갖는 것의 대체물이 될 수있는 방법을 아직 알 수 없습니다. 예를 들어, 제 책은 다음과 같이 난수 생성에 대해 말합니다. 1. | x> <-| 0> 2. | x> <-H | x> 3. 측정 | x> 특히 3 단계는 무엇에 해당합니까? 고전적인 컴퓨터에서 프로그래밍?

— Mok-Kong Shen

(적절하게 정규화 된)하다 마드 행렬은 하나의 가능한 단일 변환 일뿐입니다. 하여 계산을 위해, 우리는 결정적 튜링 기계가 이루어진 확률 분포 (0.5, 0.5)로 계산할 수 있음을 인식 할 수있는 아다 마르 행렬의 첫 번째 열의 규범 제곱

를 참조하면, 랜덤 튜링 머신 (코인 플랩을 수행 할 수 있음)의 경우, 한 단계 더 나아가 그 확률 분포로부터 샘플을 생성 할 수있다. 어쨌든, 에러 <1/2 인 양자 회로에 의해 계산 된 임의의 기능은 고전적인 기계도 할 수있다.

| ⟨ b | H | 0 ⟩ |^{2}

$\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— Niel de Beaudrap

@ Mok-Kong Shen : 비 효율성 또는 속도 저하에 대한 나의 언급에서 명확하지 않은 경우, 일반적으로 양자 컴퓨터 가 더 빠르게 계산할 수 있다는 의미에서 더 계산적으로 강력 하다고 가정합니다 . 나는 그들이 고전적인 컴퓨터도 계산할 수 없었던 것을 계산할 수 없다는 사실을 다루고있다.

— Niel de Beaudrap

양자 게이트를 고려하십시오. 모든 기술적 세부 사항을 부드럽게 처리하면 행렬 로 나타낼 수 있습니다 . 게이트에 대한 입력 단지 벡터 인 및 상기 게이트의 출력은 벡터이고 . $G$ $\vert \phi \rangle$ $v$ $Gv$

이제 회로를 고려하십시오. 회로는 단지 여러 개의 게이트 , 회로 자체는 "일반 게이트" 로 볼 수 있으며 입력 상태 (벡터 )에서 작동합니다. [다시 말해 이것은 매우 거친 추상화입니다.] $\{G_1, G_2, ... \}$ $C=G_n \cdots G_2 G_1$ $v$

기본적으로 입력에서 회로를 계산 , 단순히 벡터 산출되는 또는 . 이러한 작업 (매트릭스 곱셈 및 벡터에 의한 행렬 곱셈)은 고전 TM에 의해 수행 될 수 있으므로 TM은 적어도 양자 TM (QTM) 만큼 강력합니다. 회로. 그것에 신경 쓰지 마세요.] $\vert \phi \rangle$ $Cv$ $G_n \cdots G_2 G_1 v$

반면에 QTM은 TM만큼 강력하기 때문에 두 모델이 동일합니다.

의견으로 인한 편집
어떤 "컴퓨터"가 더 강력한 지 묻기 위해서는 먼저 "계산적으로 강력"하다는 것이 무엇을 의미하는지 명확히해야합니다. 이 반 철학적 토론은 질문에서 시작됩니다.

계산이란 무엇입니까 ?

"MP3 재생"파일은 계산입니까? 난수 출력은 계산입니까?

표준 정의에 따르면 계산은 "함수 계산"입니다. 즉, 모든 입력 (유한 길이의 임의의 문자열 일 수 있음)에 대해 출력합니다 . 여기서 는 임의의 (유한) 길이의 문자열 일 수 있습니다. 컴퓨터가 대해 를 출력 할 수 있으면 를 계산할 수 있다고합니다 . $x$ $y=f(x)$ $y$ $y$ $x$ $f$

이제 컴퓨터 "A"가 "B"보다 강력하다는 것은 A 가 보다 많은 함수 계산한다는 것을 의미합니다 . 비슷하게, $f$ $B$

두 모델 및 고려된다 당량 , 만약 어떤 기능을위한 , 계산해 경우에만, 계산해 . $A$ $B$ $f$ $A$ $f$ $B$ $f$

알다시피, 잠깐만 기다리면 무작위 화가 있습니다. 퀀텀 컴퓨터는 만 출력하지 않습니다 . 출력은 확률로 , 또는 확률과 , .... 또는 $y$ $y_1$ $p_1$ $y_2$ $p_2$ $^0$

그리고 이것은 함수 계산의 표준 정의를 확장합니다. 이를 해결하고 여러 가지 방법으로 정의를 일반화 할 수 있습니다. (1) 하나의 옵션은 의 답 이 확률 를 갖는 특정 이며 (최대 하나의 값이 있음) 이라고 말하는 것입니다 . 가 단일 비트 만 출력 한다고 가정하면 " 의 출력 은 항상 잘 정의됩니다 그렇지 않으면 그러한 값이 존재하지 않고 모든 출력에 작은 확률이있을 때 라고 말할 수 있습니다 $f(x)$ $y_i$ $p_i>0.75$ $^1$ $f$ $f(x)$ $^2$ $f$ 해당 입력에 정의되어 있지 않습니다. (2) 두 번째 옵션은 의 출력이 목록 이라고 말하는 것입니다 . 이것을 잘 정의하려면 출력 문자열이 유한해야하므로 유한 목록이 있어야합니다. $f(x)$ $(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

위와 같이 확률을 갖는 것이 모델의 검정력을 변경하지 않으며 고전 TM은 가능한 각 출력의 확률과 함께 가능한 출력 목록을 출력 할 수 있음을 분명히해야합니다. 이것은 TM이 행렬을 곱하고 벡터를 출력 할 때 발생하는 상황입니다 . 벡터는 가능한 모든 측정 결과의 확률을 나타냅니다.

^{이 문제는 양자 컴퓨팅에 고유하지 않습니다. 같은 문제에서 고전적인 확률 론적 컴퓨팅 "고화질". 왜 입니까? 이유없이. 보다 큰 모든 일정 작동합니다. 출력이 1 비트라고 가정하는 이유는 무엇입니까? 우리는 더 복잡한 기능을 단일 비트 출력을 가진 하나 이상의 기능으로 줄일 수 있습니다. 그러나 이것은 우리의 토론에는 중요하지 않습니다.
$^0$

$^1$ $p=0.75$ $1/2$

$^2$ $f$}

— 란 G.
소스

고전적인 컴퓨터에서 행렬 계산을 프로그래밍 할 수 있었지만 양자 계산을 시뮬레이션하는 코드를 작성하는 방법을 모르겠습니다. 어쨌든 양자 비트가 필요합니다. 양자 비트에는 일반적으로 알파와 베타로 표시되는 2 개의 값이 있습니다. 어떤 값을 사용해야합니까? 난수 생성의 경우 Niel de Beaudrap의 답변에 대한 나의 의견을 참조하십시오.

— Mok-Kong Shen

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$

ψ ψ = [α β]^{⊤}

$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

@Niel de Beaudrap : 그러나 제가 언급 한 난수 생성과 같은 특정 양자 계산을 시뮬레이션하는 코드를 작성할 때, 고전적인 컴퓨터에서 시뮬레이션 된 양자 비트를 구현해야합니다. 이 계수의 값을 모르고 코드를 작성하는 방법을 모릅니다.

— Mok-Kong Shen

@ Mok-Kong Shen : 요점은 런타임에 아는 것입니다. 문제는 입력에 지정된 고전적인 확률 분포 에서 샘플링하는 것과 정확히 동일 합니다. 즉 , 무작위 샘플링에서 잘 연구 된 문제로 줄어 듭니다. 예를 들어 Monte Carlo 방법이 여기에 적용됩니다.

— Niel de Beaudrap

@ Mok-KongShen 장기 토론에 의견 (특히 다른 사람의 게시물에)을 사용하지 마십시오. 이 사이트 의 일반 방 또는 목적을 위해 만들어진 대화방 에서 채팅으로 이동 하십시오.

— Gilles 'SO- 악마 중지'10

다른 대답은 유효합니다. 복잡한 클래스 분리 및 양자 대 고전 컴퓨팅에 대한 현대 연구의 핵심에서 이것이 실제로 매우 깊은 (거의 여전히 열려 있거나 해결되지 않은) 질문임을 강조하는 대답을 추가하고 싶습니다. 그들은있는 기능 TM 및 QM 컴퓨터가 모두 입증까지로 해당하는 완전한 튜링 ; 이것을 증명하는 몇 가지 방법이 있습니다.

그러나 복잡성 이론의 동등성은 시간과 공간의 미묘함 / 효율, 즉 특정 알고리즘을 계산하는 자원에 크게 좌우된다. QM 컴퓨팅에서 이론적으로 무소음 모델이 실제로는 "실제"이거나 달성 할 수없고 실제 모델에 상당한 노이즈가있을 수 있음을 고려한 QM 컴퓨팅에서 "잡음"에 관한 방대한 연구가 있습니다. 이 소음 등을 완화시키는 복잡한 체계가 있습니다. RJ Liptons 블로그 (예 : 21 세기의 비행 기계)의 다양한 게시물에서 이에 대한 훌륭한 논평이 있습니다.

예를 들어 팩터링은 P 시간에 실행되는 양자 알고리즘 클래스 인 BQP에 있으며 Shor 는 당시 극적으로 인해 QM 컴퓨팅에 대한 많은 양의 진지한 연구 / 연구를 시작했다는 유명한 증거로 입증 되었습니다. 결과.

$\stackrel{?}{=}$

스콧 아 론슨 (Scott Aaronson)은이 교과의 훌륭한 저술가 겸 연구원이며 평신도에게 접근 할 수있는 몇 가지 논문을 작성했습니다. 예를 들어 QM 컴퓨터, SciAm 또는 QM 컴퓨팅 의 한계 는 새로운 통찰력, NYT를 약속 합니다.

— vzn
소스

aram harrow는 QM 컴퓨팅 WRT 노이즈 문제에 대한 회의론자입니다. 시작하기 좋은 또 다른 곳, RJ Lipton 블로그, 21 세기의 영원한 움직임?

— vzn