베타 동등성은 무엇입니까?

내가 현재 람다 미적분학을 읽고있는 스크립트에서 베타 동등성은 다음과 같이 정의됩니다.

-equivalence 포함한 최소의 등가이다 .≡ β → $\beta$$\equiv_\beta$$\rightarrow_\beta$

나는 그것이 무엇을 의미하는지 전혀 모른다. 누군가가 더 간단한 용어로 설명 할 수 있습니까? 어쩌면 예를 들어?

나는 교회-러서 정리에 따르는 명예를 위해 그것을 필요로한다.

M N 인 경우 M L 및 N \ twoheadrightarrow_ \ beta L 인 L이 있습니다.$\equiv_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

$\to_\beta$ 는 $\lambda$ -calculus의 용어 사이의 1 단계 관계 입니다. 이 관계는 반사적이거나 대칭 적이거나 전 이적이지 않습니다. 등가 관계 $\equiv_\beta$ 의 재귀, 대칭, 전이 폐쇄입니다 $\to_\beta$ . 이것은 의미

1. 만약 $M\to_\beta M'$ 다음 $M\equiv_\beta M'$ .
2. 모든 용어 에 대해 보유합니다.M ≡ β$M$$M\equiv_\beta M$
3. 만약 , 다음 .M ' ≡ β$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M$
4. 만약 과 , 다음 .M '' ≡ β M '' M ≡ β M $M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. $\equiv_\beta$ 는 조건 1-4를 만족시키는 가장 작은 관계입니다.

보다 건설적으로 먼저 규칙 1과 2를 적용한 다음 관계에 새 요소를 추가하지 않을 때까지 규칙 과 를 반복해서 반복 하십시오.$3$$4$

정말 초등 이론입니다. 당신은 반사적 관계가 무엇인지, 대칭 관계가 무엇인지, 그리고 전이 관계가 무엇인지 아십니까? 동등성 관계는 이러한 세 가지 특성을 모두 만족시키는 관계입니다.

당신은 아마도 관계 의 "전 이적 폐쇄"에 대해 들어봤을 것입니다 . 음, 그것은 을 포함 하는 가장 전이적인 관계에 지나지 않습니다 . 그것이 "폐쇄"라는 용어의 의미입니다. 마찬가지로, 당신은 관계의 "대칭 폐쇄"에 대해 이야기 할 수 , 릴레이션의 "재귀 폐쇄" 과 관계의 "등가 폐쇄" 정확히 같은 방법으로한다.R R R $R$$R$$R$$R$$R$

약간의 생각으로, 의 전이 폐쇄 는 임을 스스로 확신 할 수 있습니다 . 대칭 폐쇄는 입니다. 재귀 적 폐쇄는 (여기서 정체성 관계이다). R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ … R ∪ R - 1 R ∪ I $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

우리는 표기법 사용 에 대한 . 이것이 의 반사성 전이 폐쇄 입니다 . 경우 이제 통지 대칭, 관계의 각 , , , , ... 대칭이다. 따라서 도 대칭이됩니다. I ∪ R ∪ R 2 ∪ … R R I R R 2 R 3 R $R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$$R$$R^2$$R^3$$R^*$

따라서 의 동등성 폐쇄는 대칭 적 폐쇄의 전 이적 폐쇄, 즉 입니다. 이는 일련의 단계를 나타내며, 그 중 일부는 정방향 단계 ( ) 및 일부 역방향 단계 ( )입니다.( R ∪ R - 1 ) ∗ R R - $R$$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

동등성 종결이 복합 관계 와 동일한 경우 관계 은 Church-Rosser 특성을가 집니다. 이는 모든 정방향 단계가 먼저 수행 된 후 모든 역방향 단계가 수행되는 일련의 단계를 나타냅니다. 따라서 Church-Rosser 속성에 따르면 앞뒤 단계의 인터리빙은 앞뒤 단계를 먼저 수행하여 동등하게 수행 할 수 있다고합니다.R ∗ ( R - 1 ) $R$$R^* (R^{-1})^*$