임의로 구성된 이진 검색 트리의 로그 높이가 증명

노드를 가진 무작위로 빌드 된 이진 검색 트리 의 예상 높이 가 임을 어떻게 증명 합니까? CLRS 알고리즘 소개 (12.4 장)에 증거가 있지만 이해가되지 않습니다. $n$ $O(\log n)$

— 사용자 1675999
소스

어떤 질문? 어떤 예입니까? 자세한 내용을 수정하고 알려주십시오.

— Ran G.

약어 (예 : BST)를 사용하지 말고 우리 대부분은 CLRS 책이 없다고 가정하십시오. 여기에서 정리를 복사하고 이해하지 못하는 것이 무엇인지 설명하면 더 많은 답변을 얻을 수 있습니다.

— Ran G.

이것은 바이너리 검색 트리가 어떻게 구축 되는지 에 달려 있습니다. (결과가 맞지 않더라도 증거는 유효합니다.) 더 자세한 내용이 유용 할 것입니다.

— 피터 쇼어

먼저 직관적으로 생각해 봅시다. 최상의 시나리오에서 트리는 완벽하게 균형을 이룹니다. 최악의 시나리오에서 트리는 전체적으로 불균형합니다.

균형 잡힌 이진 검색 트리 최악의 이진 검색 트리

루트 노드에서 시작하는 이 좌측 트리 가지고 두번 트리 갖도록 이어지는 각 깊이에서 많은 노드로서 노드와 높이 에있다 ( 이 경우 3). 약간의 수학으로 $p$ $n=\sum_{i=0}^{h}2^i =2^{h+1}-1$ $h$ , 즉높이가 입니다. 완전히 불균형 한 나무의 경우, 나무의 높이는 단순히 입니다. 우리는 한계가 있습니다. $n\le2^{h+1}-1\rightarrow h\le\lceil\log_2(n+1)-1\rceil\le\lfloor log_2 n\rfloor$ $O(\log n)$ $n-1\rightarrow O(n)$

정렬 된리스트 에서 균형 트리를 구성하는 경우 루트 요소로 중간 요소를 선택합니다. 대신 무작위로 나무를 구성하는 경우, 노드 중 하나가 동일하게 선택 될 수 있으며 나무의 높이는 다음과 같습니다 : $\{ 1,2,\dots,n\}$ $n$ 이진 검색 트리에서 왼쪽 하위 트리에는 루트 노드보다 작은 키만 포함해야한다는 것을 알고 있습니다. 우리는 랜덤하게 선택하는 경우 즉, 요소를 좌측 서브 트리를 갖는다소자 및 오른쪽 하위 트리 갖는그래서 더 콤팩트 요소 :

h e i 지 h 티_{티 아르 자형 이자형 이자형} = 1 + 최대 (h 이자형 나는 지 h 티_{엘 이자형 에프 티 에스 유 비 티 아르 자형 이자형 이자형}, h 이자형 나는 지 h 티_{아르 자형 나는 지 h 티 에스 유 비 티 아르 자형 이자형 이자형})

$height_{tree}=1+\max (height_{left\space subtree}, height_{right\space subtree})$

i^{t h}

$i^{th}$

i - 1

$i-1$

n - i

$n-i$

. 거기에서 각 요소가 똑같이 선택 될 가능성이 높으면 예상 값은 가중 평균이 아닌 모든 사례의 평균에 불과합니다. 따라서 :

h_{n} = 1 + max (h_{i - 1}, h_{n - i})

$h_n=1+\max (h_{i-1},h_{n-i})$

E [h_{n}] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [1 + max (h_{i - 1}, h_{n - i})]

$\operatorname{E}[h_n]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[1+\max (h_{i-1},h_{n-i})]$

$Y_n=2^{h_n}$ $Y_n=2\times\max (Y_{i-1},Y_{n-i})$ .

이자형 [{와이}_{엔}] = \sum_{나는 = 1}^{엔} \frac{1}{엔} 이자형 [2 \times 최대 ({와이}_{나는 - 1}, {와이}_{엔 - 나는})] = \frac{2}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} 이자형 [최대 ({와이}_{나는 - 1}, {와이}_{엔 - 나는})]

$\operatorname{E}[Y_n]=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\operatorname{E}[2\times\max (Y_{i-1},Y_{n-i})]=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{E}[\max (Y_{i-1},Y_{n-i})]$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

\sum_{i} c i = c \sum_{i} i

$\sum_i ci=c\sum_i i$

E [a x] = a E [x]

$\operatorname{E}[ax]=a\operatorname{E}[x]$

max

$\max$

X

$X$

Y

$Y$

E [max (X, Y)] \leq E [max (X, Y) + min (X, Y)] = E [X] + E [Y]

$\operatorname{E}[\max(X,Y)]\le\operatorname{E}[\max(X,Y)+\min(X,Y)]=\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[Y]$

이자형 [{와이}_{엔}] \leq \frac{2}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} (이자형 [{와이}_{나는 - 1}] + 이자형 [{와이}_{엔 - 나는}]) = \frac{2}{엔} \sum_{나는 = 0}^{엔 - 1} 2 이자형 [{와이}_{나는}]

$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(\operatorname{E}[Y_{i-1}]+\operatorname{E}[Y_{n-i}])=\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}2\operatorname{E}[Y_{i}]$

i = 1

$i=1$

Y_{i - 1} = Y_{0}

$Y_{i-1}=Y_{0}$

Y_{n - i} = Y_{n - 1}

$Y_{n-i}=Y_{n-1}$

i = n

$i=n$

Y_{i - 1} = Y_{n - 1}

$Y_{i-1}=Y_{n-1}$

Y_{n - i} = Y_{0}

$Y_{n-i}=Y_{0}$

Y_{0}

$Y_0$

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$

E [Y_{n}] \leq \frac{4}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} E [Y_{i}]

$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{4}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{E}[Y_{i}]$

이 시점에서 CLRS는 유도 증거 가져옵니다. $\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{1}{4}\binom{n+3}{3}$ $\sum_{i=0}^{n-1}\binom{i+3}{3}=\binom{n+3}{4}$ $n^3$ $Y_n=2^{h_n}$ $h_n=\log_2n^3=3\log_2n\rightarrow O(\log n)$ $n^k$ $k$

2^{이자형 [{엑스}_{엔}]} \leq 이자형 [{와이}_{엔}] \leq \frac{4}{엔} \sum_{나는 = 0}^{엔 - 1} 이자형 [{와이}_{나는}] \leq \frac{1}{4} (\binom{엔 + 삼}{삼}) = \frac{(엔 + 삼) (엔 + 2) (엔 + 1)}{24} \to 이자형 [h_{엔}] = 영형 (로그 엔)

$2^{\operatorname{E}[X_n]}\le \operatorname{E}[Y_n]\le \frac{4}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{E}[Y_i]\le\frac{1}{4}\binom{n+3}{3}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{24}\rightarrow \operatorname{E}[h_n]=O(\log n)$

— Merbs
소스

와우 고마워 !!!! 예상 가치에 대해 잘 모르지만 이러한 종류의 의미가 있습니다. 알고리즘을 수행하기 전에 신중한 수학 과정을 수행하지 않았습니다. 의심스러운 점이 있으면 더 많은 의견을 게시 할 것입니다. 감사합니다

— user1675999

그러나 왜 지수 높이가 선택한 이항보다 작거나 같습니까? 나는 왜 우리 가 다른 가장 큰 항을 가진 다른 이항 법을 선택할 수없고 정확히 같은 수학을 할 수 없는지 이해하지 못합니다 . 아마 바보 일지 모르지만 나는 왜 그런지 알 수 없습니다 ... 완벽하게 이해되면, 그들은 단지 파란색에서 완전히 무언가를 끌어 내야했으며 아무런 설명도없이 그것들이 옳다는 것을“증명”한다고 말해주었습니다.

— Zeks

@Zeks 따라서 더 큰 항을 가진 다른 이항을 선택할 수 있습니다. 항이 여전히 다항식 ( n^k) 인 k경우 big-O 표기법 (3이 삭제 된 방식)으로 삭제 되므로 결론은 같습니다 . 우리가 뭔가 지수 (치환한다면 e^n), 그것은 여전히 것이 올바른 단지가 아닌, 상한 꽉 하나. 우리는 예상 높이가 최소한 대수임을 알고 있으므로 최대 대수라고 결정하면 꽉 조입니다.

— Merbs

@DavidNathan 나는 당신의 관심사를 이해하지 못합니다-1 / n이 상수인지 또는 합산 밖으로 이동할 수 있는지 의심 스럽습니까? 상수 2와 마찬가지로 나머지 증거를 단순화하기 위해 설명 목적으로 크게 취해집니다.

— Merbs