DOUBLE-SAT가 NP 완료임을 증명

잘 알려진 SAT 문제는 참고 용으로 여기 에 정의되어 있습니다 .

DOUBLE-SAT 문제는 다음과 같이 정의됩니다.

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

NP가 완전하다는 것을 어떻게 증명합니까?

증명하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

여기에 하나의 해결책이 있습니다.

분명히 더블 SAT가 속하는 부울 입력 화학식 켜짐 : NTM 다음과 같이 두 SAT를 결정할 수 있기 때문에, φ ( X 1 , ... , X에 N을 ) nondeterministically 2 개 과제를 추측 모두 충족 된 것인지 확인 φ .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

Double-SAT가 -Complete 임을 나타 내기 위해 다음과 같이 SAT를 Double-SAT로 줄입니다.${\sf NP}$

입력 :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. 새로운 변수 소개합니다 .$y$
2. 출력 공식 .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

한다면 SAT에 속하고 φ 적어도 1 만족 할당을 가지며, 따라서, φ ' ( X 1 , ...는 , X N , Y가 ) 우리는를 만족시킬 수있는 바와 같이, 적어도 2 개 만족하는 과제를 가지고 새로운 항 ( Y ∨ ˉ Y ) 중 하나를 지정하여 Y = 1 또는 Y = 0 새로운 변수로 Y를 하므로, φ ' ( $\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., x n , y ) ∈ Double-SAT.$x_1$$x_n$$y$$\in$

반면에 인 경우 ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) = ϕ ( x 1 , … , x n ) ∧ ( y ∨ ˉ y ) 대입도 만족스럽지 않으므로 ϕ ′ ( x 1 , … , $\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ .$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

따라서 이므로 Double-SAT는 N P -Complete입니다.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$