하다 마드 게이트 뒤의 직관

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나는 양자 컴퓨팅에 대해 스스로를 가르치려고 노력하고 있으며 선형 대수학에 대해 잘 이해하고 있습니다.

나는 나쁘지 않은 NOT 게이트를 통과했지만 Hadamard 게이트에 도착했습니다. 그리고 나는 붙어있다. 주로 내가 조작을 "이해"하는 동안, 그들이 실제로 무엇을하는지, 왜 그렇게하고 싶은지 이해하지 못한다.

예를 들어,하다 마드 게이트는 가면 합니다. 이것은 무엇을 의미 하는가? NOT 게이트의 경우 받고 합니다. 그것에 대해 분명하지 않은 것은 없습니다. 이 (가에 소요 중첩에 대한 비트의 "반대"를 제공 및 제공 ) 나는 이유를 이해 유용하다; 같은 이유로 (기본적으로) 클래식 컴퓨터에서 유용합니다. 그러나 Hadamard 게이트가 벡터 에 대해 기하학적으로 수행하는 것은 무엇입니까? 왜 이것이 유용한가요? $|0\rangle$ $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$ $\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

logic quantum-computing

— 히스
소스

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하다 마드 게이트는 중첩 생성 과의 첫 만남 일 수 있습니다 . 당신이 Pauli 게이트 (일명 ) 의 유용성을 고전적인 상대 와 연관시킬 수 있다고 말할 때 , Hadamard는 고전 아날로그의 영역을 떠나는 곳입니다. 이 유용하다 정확히 이 종종 형성하는데 사용된다, 즉, 그러나, 동일한 이유로 게이트들의 전체 집합을 (clasical 등 으로 팬 아웃 또는 팬 아웃 단독으로). $X$ NOTANDNOTNOR

단일 게이트는 난수 생성에 다소 유용 하지만 (Yuval Filmus가 말했듯이) 실제 게이트는 더 많은 경우 또는 다른 게이트와 함께 나타날 때 나타납니다. 당신이 때 큐 비트가 초기화 예를 들어, 하나의 적용 임의의 순서로 그 각각을, 당신이 무엇을 얻을입니다 로 확장 될 수 Voilà, 이제 에서 함수를 평가할 수 있습니다 $H$ $n$ $|0\rangle$ $H$

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \dots \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / 2^{n / 2}

$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$

1 / 2^{n / 2} \cdot (| 00 \dots 00 ⟩ + | 00 \dots 01 ⟩ + | 00 \dots 11 ⟩ + \dots + | 11 \dots 11 ⟩)

$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$

2^{n}

$2^n$ 병렬로 다른 입력! 예를 들어, Grover 알고리즘 의 첫 번째 단계입니다 .

또 다른 대중적인 사용은 하나의 큐 비트에있는하다 마드 (Hadamard)와 그 뒤에 CNOT중첩 된 큐 비트로 제어됩니다. 참조 : 즉, A의 벨 상태 각종의 초석 양자 키 분배 프로토콜, 측정 - 기반 연산 , 양자 순간 이동 등 많은 응용 . 또한 동일한 제어를 사용하여 0으로 초기화 된 더 많은 대상 큐 비트 에서 반복적으로 사용 하여 GHZ 라고하는 만들 수 있습니다. 상태

C N O T (2^{- 1 / 2} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = 2^{- 1 / 2} C N O T (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) = 2^{- 1 / 2} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$ CNOT

2^{- 1 / 2} (| 00 \dots 00 ⟩ + | 11 \dots 11 ⟩)

$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$ 또한 매우 유용합니다.

마지막으로, 자체 가역적 인 매우 유용한 기본 변환입니다. 따라서 다른 Hadamard 게이트는 어떤 의미에서는 이전 응용 프로그램이 수행 한 작업을 취소합니다 ( ). 다른 동작을 "샌드위치"하기 위해이를 사용하면 어떤 일이 발생하는지 실험 할 수 있습니다 . 또는 두 큐 비트 모두에서 (총 4 개의하다 마드). 직접 시도하면 양자 계산에 대해 많은 것을 배울 것입니다! $H^2 = I$ CNOT

"Hadamard gate가 벡터에 기하학적으로 수행하는 작업"은 다음과 같습니다. Bloch sphere 에서 읽으면 어디에서나 그것에 대해들을 수 있습니다. 이 표현에서,하다 마드 게이트는 특정 경사 축을 중심으로 180 ° 회전합니다. Pauli 게이트 ( NOT3 개 중 1 개)도 180 ° 회전하지만 약 또는 또는 합니다. 이러한 기하학적 연산은 상당히 제한되어 있기 때문에 이러한 게이트만으로는 실제로 많은 것을 할 수 없습니다. (실제로, 당신이 그들과 자신에게 제한한다면 $x$ $y$ $z$ CNOT당신의 양자 컴퓨터에, 당신은 단지 중요 기울어 진 것에 대해 회전). 매우 비싸고 uneffective 고전적인 장치를 구축하고, 하나는 더 많은처럼 (° 당신이 일반적으로 필요가도 45과 같은 각도의 작은 부분에 의해 회전 성분 단계 시프트 게이트 ).

— 비
소스

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상태에는 항상 단위 규범이 있으므로 큐 비트에서 가능한 유일한 선형 연산자는 규범을 유지하는 것입니다. 선형 대수에서 우리는 이것이 정확히 Hermitian 연산자라는 것을 알고 있습니다. 연산자를 설명하기 위해서는 그 효과를 기준으로 설명하면 충분합니다. 예를 들어 벡터의 에있는 연산자 값 은 입니다. $\left| 0 \right\rangle$ $\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Wikipedia 에 따르면 ,하다 마드 게이트는 "무작위 입력"을 형성하는 데 사용됩니다. 일정한 큐 비트 (즉, , 또는 단위 규범 복소수에 의한 회전)에 적용되는 경우,하다 마드 게이트는 "균일하게 임의의"큐 비트를 형성합니다 측정시 공정한 동전 던지기처럼 작동합니다. 이것은 "모든 가능성을 동시에 시도"할 때 우리가 원하는 행동입니다. $\left| 0 \right\rangle$ $\left| 1 \right\rangle$

나는 양자 계산에 대한 당신의 독서를 계속하는 것이 좋습니다; 그로버 (Grover)와 쇼어 (Shor 's)와 같은 양자 알고리즘에 도달하면이 양자 게이트가 모두 유용한 것이 무엇인지 이해할 것입니다.

— 유발 필름 러스
소스

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"길이 2의 단위 규범 벡터"는 규범과 길이를 호환 적으로 사용하는 데 익숙하기 때문에 혼란 스러웠습니다.

— adrianN