간단한 다각형의 독특한 삼각 측량

간단한 폴리곤의 삼각 측량 (스타 인 포인트없이) $P$이 삼각 분할의 이중을 고려할 수 있는데 이는 다음과 같이 정의됩니다. 삼각 분할의 모든 삼각형에 대해 꼭짓점을 만들고 해당 삼각형이 모서리를 공유하면 두 개의 꼭짓점을 연결합니다. 이중 그래프는 최대 차수가 3 인 나무로 알려져 있습니다.

본인의 신청에는 다음에 관심이 있습니다. 주어진 나무$T$ 최대 차수가 3 인 경우 항상 간단한 다각형이 있습니까? $P$ 모든 (삼각형 포인트없이) 삼각 측량의 이중 $P$ 동일하다 $T$. 여기에서 삼각 분할$P$ 고유하지 않을 수도 있지만 이중 그래프는 고유해야합니다.

이것은 확실히 사실이다 $T$ 경로이지만 3 도의 꼭짓점이 있으면 불분명합니다.

주어진 나무 $T$ 최대 차수가 3 인 경우 항상 간단한 다각형이 있습니까? $P$ 모든 (삼각형 포인트없이) 삼각 측량의 이중 $P$ 동일하다 $T$?

예. 이를 보여주기 위해 약간 더 강한 결과를 얻는 절차를 제공합니다 * :

주어진 나무 $T$ 최대 차수가 3 인 간단한 다각형을 만듭니다. $P$, 등이 독특한 삼각 측량 의$P$ (스타이너 포인트없이) $T$ 이중으로.

초기 삼각형을 만들어 시작 $\Delta_0$정점을 나타내는 $v_0$ 에 $T$ 그리고 추가 $v_0$ 대기열로 $Q$. 그런 다음까지 다음을 반복하십시오.$Q$ 비었다:

• 상단 요소를 팝업 $v$대기열에서
• 인접한 정점마다 $w$ 아직 삼각형을 배치하지 않은면을 선택하십시오. $AB$ 삼각형의 $\Delta_v$ 그리고 요점 $D$ 라인을 통해 생성 된 원추형 영역 내부 $AB$ 삼각형과 같은 인접 세그먼트 $\Delta ABD$다른 삼각형과 교차하지 않습니다. (아래 그림 참조) 세트$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ 그리고 추가 $w$ 에 $Q$.

이 이미지는 가능한 다각형의 예를 제공합니다 $P$ 주어진 (왼쪽) $T$ (권리)

이 절차가 작동하는 이유를 확인하려면 먼저 새 삼각형을 만든 후 세그먼트를 $AB$ 과 $AD$ 비어 있지 않은 영역이 기존 삼각형과 교차하지 않는 원뿔을 생성하므로 (앞의 그림 참조) 모든 단계에서 적합한 점을 찾아 다각형을 만들 수 있습니다.

둘째, 우리는 선분이 $CD$ 완전히 안에 있지 않습니다 $P$. 코너 포인트가있는 경우$Q \notin \{B,D\}$ 이미 배치 된 삼각형의 $DQ$ 완전히 $P$그런 다음 생성 된 원뿔 안에 있어야합니다. $AD$ 과 $BD$. 그러나이 콘의 일부가 안에 있지 않기 때문에$\Delta ABD$ 이전에 배치 된 삼각형에 의해 생성 된 원뿔에 포함됩니다. $Q$이전에 배치 된 삼각형과 유사한 점이있는 경우에만 존재합니다. 첫 번째 삼각형에는 그러한 점이 없기 때문에 우리가 추가하는 삼각형에는 그런 점이 없습니다.

이것은 모든 쌍이 $(X,Y)$ 모든 코너 포인트 $P$ 어떤 세그먼트 $XY$ 에 완전히 포함되어 있습니다 $P$ 이미 구성된 삼각 분할에 있으므로 삼각 분할은 $P$ (모든 삼각 분할은 같은 수의 내부 세그먼트를 추가합니다)

이 방법으로 구성된 다각형은 다소 날카로운 각도를 갖는 경향이 있습니다. 임의의 큰 그래프에는 임의의 작은 각도의 다각형이 필요하다고 생각합니다.이 다각형을 유한 정밀도로 그릴 때 문제가 될 수 있습니다.

_{* : 차이점은 '고유 (unique)'를 동 형사상으로 해석하면 (삼각법의 고유성과 이분법이 다름) 모든 동형 사변형을 갖는 다중 삼각법을 갖는 다각형에 문제가 없다는 것입니다. 그러나 일부 이중선이 더 이상 동형이 아닌지 확인하기 위해 더 많은 삼각형을 해당 다각형에 '첨부'할 수 있습니다.}