아핀 함수 값의 언어

쓰기 $\bar n$ 의 진수 확장을위한 $n$ (아니오 선도 0). 하자 $a$ 하고 $b$ 가진 정수, 수 > 0 . 의 배수의 진 확장의 언어 고려 플러스 상수를 :$a > 0$$a$

가 $M$ 일반? 문맥이 없습니까?

( 아핀 함수 그래프의 언어 와 대비 )

_{나는 이것이 좋은 숙제 질문을 할 것이라고 생각하므로 힌트 나 두 개로 시작하고 질문을 해결하는 방법뿐만 아니라 사용할 기술을 결정하는 방법을 설명하는 답변이 좋습니다.}

$a$$a - 1$$q$$d$( 10 q + d ) mod a b mod a b > $(10 q + d) \bmod a$$b \bmod a$$b > a$

정기적입니다. 어떤베이스에 일반화 2 진에서하자의 첫 작품,> 1.하자 M A는 , B는 문제의 언어합니다. a = 1, b = 0 인 경우$M_{a,b}$

$M_{1,0} = \{1, 10, 11, 100, 101, ...\}$

이것은 선행 0이없는 { 0 , 1 } 이상의 모든 문자열 이며, 정규적입니다 (정규 표현식을 구성하십시오).$\{0,1\}$

이제 어떤 위해 여전히 B 0 우리 얻을 M , 0 부터 M 1 , 0 변환 수행, 즉, a로 수치 적으로 승산하여 ˉ X → ¯ X를 각각 문자열 M , 0 . 이것은 고정 문자열 ˉ a 의 비트에 의존하는 x 의 시프트 및 덧셈 순서에 의해 비트 단위로 수행 될 수 있습니다 . 필요한 두 가지 변형은 다음과 같습니다.$a$$M_{a,0}$$M_{1,0}$$\bar x \rightarrow \overline {ax}$$M_{a,0}$$x$$\bar a$

ˉ X → ¯ 2 X 이는 ˉ X → ˉ X$\bar x \rightarrow \overline {2x}$$\bar x \rightarrow \bar x0$

과

$\bar x \rightarrow \overline {2x+x}$

오른쪽에 0을 연결하면 규칙 성이 명확하게 유지됩니다. 따라서 우리는 두 번째 작업이 규칙 성을 유지한다는 것을 증명해야합니다. 이 작업을 수행하는 방법에 유한 상태 변환기 작동 함께 ˉ X 오른쪽에서 왼쪽으로. 가장 어려운 단계입니다. 의사 코드 프로그램과 상태를 사용하는 대신 유한 보조 메모리 (비트 변수와 같은)로 수행하는 것이 좋습니다. 메모리가 모든 입력에서 고정 크기이고 오른쪽에서 왼쪽으로 엄격하게 스캔하는 한 유한 상태 변환이며 규칙 성을 유지합니다.$\bar x$

마지막으로 M a , 0 에서 M a , b 를 얻으려면 각 문자열 에 b 를 숫자로 추가해야 하지만 고정 수 b에 따라 비슷한 변환기 T b로 수행됩니다 .$M_{a,b}$$M_{a,0}$$b$$T_b$

어떤베이스에서도 동일하게 수행하려면 d 에 의존 하는 변환기 S d 를 사용하여 해당베이스 의 단일 숫자 d 를 곱하는 방법을 추가로 보여줍니다 . 이를 통해 여러 자리 수를 곱할 수 있으며 여전히 일반 언어로 유지됩니다. 또는 d 에 의한 곱셈 은 반복 된 덧셈이라고 말함으로써 이것을 구체화 할 수 있습니다 .$d$$S_d$$d$

힌트 만 원했습니다. 이러한 각 단계는 상당히 복잡한 정리 / 기술에 따라 다르므로 완전한 증거를 얻는 것이 추가 작업이 될 것입니다.

힌트 # 1 : 가장 작은 부호 비트 가 처음 나타날 때 가장 대중적인 문제인 "3으로 나눌 수있는 10 진수 / 이진수 표현을 인식하는 오토 마톤을 작성하십시오 ."

중급 질문 : { ¯ ax + b ∣ax + b ≥ 0x ∈ Z } 는 규칙적입니다.$\{ \overline{a\,x+b}\mid a\,x+b≥0 \quad x\in\mathbb{Z}\}$

힌트 # 2 : 함수 ( n ↦ 10 n + d ) "모듈러스 a " 의 그래프 는 유한합니다. { 0 , … , 9 } 에서 각 d 에 대해 계산할 수 있습니다. 이 숫자는 자릿수와 자동 언어의 언어입니다.$(n \mapsto 10n+d)$$a$$d$$\{0, \dots, 9\}$

힌트 # 3 : 이제 x ∈ Z 를 x ∈ N으로 바꾸십시오 . 이것은 무엇을 변경합니까? 임시 오토 마톤을 작성 하는 대신 교차로 정규 언어가 안정적이라는 사실을 사용하십시오 .$x∈\mathbb Z$$x∈\mathbb N$

# 4 힌트 : 지금 가정 a가 소수가 (그래서이다 Z가 / Z는 우리가 어디에 경우 여전히 있다는 것이다 필드)와 X ∈ Z . 이제 첫 번째 비트가 가장 중요한 비트 인 표현을 사용합니다 . 같은 방식으로 오토 마톤을 만들 수 있습니까?$a$$\mathbb Z/a\mathbb Z$$x∈\mathbb Z$

힌트 # 5 : 언어가 규칙적이라는 것을 증명하기 위해 항상 오토 마톤을 만들 필요는 없습니다. 이전 결과를 사용하여 M 이 정규 임을 증명할 수있는 방법은 무엇입니까? (가장 중요한 비트부터)$M$

@vonbrand의 아이디어를 따르고 있습니다.

힌트 1 :

b = 0에 대해 먼저 풉니 다 . Myhill-Nerode 정리를 사용할 수 있습니다 .$b=0$

우리는 다음과 같은 관계를 정의 ˉ X ≈ ˉ Y를 :⟺x ≡ y모드. 이것은 분명히 등가 관계입니다. 또한 숫자 d를 추가하면 ˉ x ≈ ˉ y 가 나오기때문에 맞습니다.$\bar x\approx \bar y :\iff x\equiv y \mod a$$d$⟺10 x + d ≡ 10 y + d모드ㅏ⟺ˉ x d≈ ˉ y d. 마지막으로 포화L, 이후$\bar x \approx \bar y \iff 10x+d \equiv 10y+d \mod a \iff \bar x d \approx \bar y d$$L$L 이 동등성 클래스 [ 0 ]시킵니다. ≈ 에는 한정된 수의 수업이있기 때문에Myhill-Nerode Theorem은 정규 수업을 가지고 있습니다. 연관된 FSA는 최소화하고있다상태.$L$$[0]$$\approx$$a$

힌트 2 :

일반적인 경우를 해결하고 b = 0 경우에 의해 유도 된 오토 마톤을 재사용하십시오 .$b=0$

우리는 언어가 b = 0에 대해 규칙적이라는 것을 알고 있습니다 . 따라서 단순히 b = 0 언어 의 상태 FSA M 을 가져옵니다 . 이제 L에 대한 FSA를 구성합니다 . b 에 k 자리 가 있다고 가정하십시오 . 그런 다음 FSA는 10 진 깊이의 나무처럼 분기합니다$b=0$$a$$M$$b=0$$L$$b$$k$ k의하고 k 자리숫자의 모든 경로를 포함합니다. a x + b 형식 이 아닌 숫자로 도달 할 수있는 모든 상태는 다른 방법으로 수락을 거부합니다. 마지막으로 FSA의 트리 부분을 오토 마톤 M 과 연결합니다$k$$k$$ax+b$$M$에 의해 분할하여 나머지에 따른 .$a$

언어는 규칙적입니다.

힌트 : 아홉 캐스트

증거 아이디어

용 = 9 및 B$a=9$ < 9 ,$b < 9$

0 에서 8 까지 레이블이 붙은 9 개의 상태로 오토 마톤을 만듭니다 . 0 은 초기 상태이고 하나의 최종 상태는 b 입니다. 상태 s 에서 숫자 d 로 상태로 전환 ( s + d $9$$0$$8$$0$$b$$s$$d$m o d도 9 .$(s + d) \;\mathrm{mod}\; 9$

다른 값을 처리하기 위해 와 서로 소하는 10 ,$a$$10$

패킷 그룹 자리 일부 찾을 K가 되도록 나누기 10 K - 1 (예 테이크 K = 3 의 경우 = 37 때문에 999 = 27 × 37 ).$k$$a$$10^k-1$$k=3$$a=37$$999 = 27 \times 37$

의 값을 처리하기 위해 그의 유일한 주요 요인 2 와 5 ,$a$$2$$5$

끝 부분의 유한 자릿수에 관한 것입니다.

모든 값을 일반화하기 위해 와 B ,$a$$b$

노동 조합 및 일반 언어의 교차가 유한 한 언어 규칙적인 것을, 그리고 배수 것으로, 일반 있다는 사실 사용 1 ⋅ 2가 모두 때 정확히 배수 1 과 을$a_1 \cdot a_2$$a_1$ 2는 서로 소됩니다.$a_2$

편리한 기술을 사용하십시오. 세 가지 주요 기본 기술 (정규 표현, 유한 오토마타, 이론 이론적 속성)이 모두이 증명으로 표현됩니다.

자세한 증거

하자 = 2 P 5 Q의 을 ' 로 ' 와 서로 소 (10) . 하자 M ' = { ¯$a = 2^p 5^q a'$$a'$$10$ 'x + b ∣x∈Z∧a′x + b ≥ 0 } 및 M ″ = { ¯ 2 p 5 $M' = \{\overline{a'\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge a'\,x+b \ge 0\}$x + b ∣x∈Z∧2p5qx + b ≥ 0 } . 기초 산술에 의해, b 모듈로 a 와 동일한 수는 정확히 b 모듈로 a ' 와동일한 수이고 b 모듈로 2 p 5 q 이므로, M ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b } = M ′ ∩ M ″ ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b } . 정규 언어의 교차는 규칙적이므로$M'' = \{\overline{2^p 5^q\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge 2^p 5^q\,x+b \ge 0\}$$b$$a$$b$$a'$$b$$2^p5^q$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\} = M' \cap M'' \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}${ ¯ x ∣ x ≥ b } 는 유한 한 (따라서 정규적인) 언어의 보완이기 때문에 규칙적입니다. M ′ 및 M ″ 도 규칙적이라면 M ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b } 는 규칙적입니다. 그리고 M은 이 유한 집합 해당 언어의 조합이기 때문에 그러므로 정기적입니다. 따라서 증명을 마치려면 M ′ 및 M ″ 이 규칙적임을 증명하는 것으로 충분합니다.$\{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M'$$M''$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M$$M'$$M''$

M ″ , 즉 숫자 modulo 2 p 5 q 로 시작합시다 . 그 소수 팽창에 정수 M " 마지막 특징 m X ( P , Q ) 상기의 복수의 추가 왼쪽 수단 숫자가 변경되기 때문에, 숫자 10 m X ( P , Q ) 의 배수 2 쪽 5 q . 따라서 0 * M ″ = ℵ ∗ F 여기서$M''$$2^p 5^q$$M''$$\mathrm{max}(p,q)$$10^{\mathrm{max}(p,q)}$$2^p 5^q$$0^* M'' = \aleph^* F$ℵ는 모든 숫자의 문자이고 F는 길이의 단어들의 유한 집합이다 m X ( P , Q ) , 및 M ' = ( ℵ * F ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * ) 정기적 인 언어.$\aleph$$F$$\mathrm{max}(p,q)$$M'' = (\aleph^* F) \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

우리는 이제 M ' , 즉 숫자 ' modulo a ' 로 바꾸고 여기서 a ' 는 10 과 coprime입니다 . 경우 ' = 1 다음, M은 ' 모든 소수의 원주민 확장 세트는, 즉 M ' = { 0 } ∪ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * ) , 일반 언어이다. 우리는 이제 ' > 1 이라고 가정 합니다 . 하자 케이 = '$M'$$a'$$a'$$10$$a' = 1$$M'$$M' = \{0\} \cup ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$$a' > 1$1 . 페르마의 작은 정리, 10 a ′ − 1 ≡ $k = a'-1$모드' , 말할 인 ' 나누기 10 K - 1 . 우리는다음과 같이 0 * M ' 을인식하는 결정 론적 유한 오토 마톤을 만듭니다.$10^{a'-1} \equiv 1 \mod a'$$a'$$10^k-1$$0^* M'$

• 상태가 [ 0 , K - 1 ] × [ 0 , 10 K - 2 ] . 첫 번째 부분은 숫자 위치를 나타내고 두 번째 부분은 숫자 모듈로 10 k - 1을 나타냅니다 .$[0,k-1] \times [0,10^k-2]$$10^k-1$
• 초기 상태는 $(0,0)$ 입니다.
• d ( i , u ) 에서 ( j , v ) 로 레이블이 지정된 d가 있습니다. iff v ≡ d 10 i$d$$(i,u)$$(j,v)$ u모드10 k - 1 및 j ≡ i $v \equiv d 10^i + u \mod 10^k-1$$j \equiv i + 1 \mod k$ .
• 상태 ( i , u ) 는 최종 iff u ≡ $(i,u)$모드a ' ( a ' 는 10 k - 1로 나눕니다).$u \equiv b \mod a'$$a'$$10^k-1$

상태 ( 나 , 유 ) 단어에서 도달 ¯ X 만족 I ≡ | ¯ x$(i,u)$$\overline{x}$모드k 와 u ≡ $i \equiv |\overline{x}| \mod k$모드10 k - 1 . 이것은 오토 마톤의 전환에 따라 단어를 유도함으로써 증명 될 수 있습니다. 10 k ≡ 1 이라는 사실을 사용하여 전환이 계산됩니다.$u \equiv x \mod 10^k-1$모드10 k - 1 . 이와 같이 오토 마톤 폼의 개수의 소수 확장 (허용 초기 제로) 인식 U + Y (10) K 와 U를 ≡ $10^k \equiv 1 \mod 10^k-1$$u + y 10^k$모드a ' ; 10 k 부터 ≡ $u \equiv b \mod a'$모드a ′ , 오토 마톤은 b 모듈로 a ''와 동일한 숫자의 10 진수 확장을 인식하여초기 0을 허용합니다. 0 * M ' . 따라서이 언어는 규칙적으로 입증되었습니다. 최종적으로, M ' = ( 0 * M ' ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * ) 일반 언어이다.$10^k \equiv 1 \mod a'$$b$$a'$$0^* M'$$M' = (0^* M') \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

10 이외의 밑으로 일반화하려면 위의 2 와 5를 밑의 모든 주요 요소로 대체하십시오 .$10$$2$$5$

공식적인 증거

좋아하는 정리 증명에서 독자를위한 연습으로 남겨 두십시오.