이중 흐름 일치에 대한 최대 흐름을 줄입니까?

최대 이분법 일치 문제에서 최대 흐름 문제로 유명하고 우아하게 축소되었습니다. 소스 노드가있는 네트워크를 만듭니다. $s$ 터미널 노드 $t$ 각 항목에 대해 하나의 노드를 일치시킨 다음 적절한 모서리를 추가하십시오.

다항식 시간에서 최대 흐름을 최대이 분식 매칭으로 최대 흐름을 줄이는 방법은 확실히 있습니다. 두 방법 모두 다항식 시간으로 각각 해결할 수 있기 때문입니다. 그러나 max-flow (일반 그래프)에서 최대 bipartite matching으로 "좋은"다항식 시간 감소가 있습니까?

reductions network-flow bipartite-matching

— templatetypedef
소스

이분 그래프 또는 일반 그래프에서 네트워크 흐름에 대해 묻고 있습니까?

— DW

나는 일반적인 그래프에서 최대 흐름에 대해 생각하고있었습니다.

— templatetypedef

P 내부의 폴리 타임 감소는 지루합니다. 인스턴스를 해결하고 하드 코딩 된 두 인스턴스 중 하나를 선택하십시오. 나는 그것이 당신이 원하는 것이 아니라는 것을 알고 있지만, 그것이 무엇인지 더 정확하게 지정할 수 있습니까?

— Raphael

@Raphael 내 질문의 마지막 단락은 당신이 언급 한 것을 암시했습니다. 그렇습니다. 그렇기 때문에 당신이 말한 라인을 따라 흥미롭지 않은 감소가 있습니다. 필수 특성을 유지하는 구조적 변환 인 max-flow와 일치하는 감소와 더 일치하는 감소를 찾고 있습니다. "문제를 해결하고 인스턴스를 산출하는 것"의 사소한 감소보다는 NP- 경도를 증명하기 위해 행해진 감소를 따라 무언가를 생각하십시오.

— templatetypedef

가제트 감소가 일반적으로 선형 시간이 아닙니까? 그것이 내가 의미하는 바 : 우리가 "속임수"를 막는 더 제한적인 수업을 찾아보십시오. (“필수적인 특성을 유지하는 것”이 무엇을 의미하는지는 명확하지 않습니다.)

— Raphael

답변:

이상하게도 그러한 감소는 알려져 있지 않습니다. 그러나 최근 논문 Madry (FOCS 2013)에서 단위 용량 그래프의 최대 흐름을 (대수적으로 많은) 최대로 줄이는 방법을 보여주었습니다. $b$ 이분 그래프에서 일치합니다.

당신이 최대에 익숙하지 않은 경우 $b$ -매칭 문제, 이것은 다음과 같이 정의 된 매칭의 일반화입니다 : 입력은 그래프 (이 경우 이분 그래프)입니다. $G=(V,E)$ , 그리고 꼭짓점의 요구와 함께, 각 꼭짓점에 대한 필수 요구 사항 세트 $v$ 로 표시 $b_v$ . 목표는 가능한 가장 큰 모서리 세트를 찾는 것입니다 $S$ 꼭짓점이 없도록 $v$ 이상 $b_v$ 가장자리 $S$ 사건 $v$ . 이분자 매칭에서 최대 흐름으로 감소를 일반화하고 이분자에서 유사한 감소를 보여주는 것은 간단한 연습입니다 $b$ 최대 유량과 일치합니다. Madry의 논문의 놀라운 결과 중 하나는 어떤 의미에서 이러한 문제가 동일하다는 점에서 단위 용량 그래프 (일반적으로 용량의 합계가있는 그래프, $|u|_1$ 가장자리 수에 선형 $m$ )을 $b$ 그래프에서 일치하는 문제 $O(m)$ 노드, 정점 및 수요의 합.

세부 사항에 관심이 있으시면 Arryv 버전의 Madry 논문의 섹션 3, 정리 3.1 및 섹션 4 (및 부록 C의 정확성 증명)를 참조하십시오 . 용어가 자명하지 않은 경우 2.5 절을 참조하여 $b$ 일치하는 문제를 명심하십시오. $u_e$ 가장자리의 용량 $e$ 원래 최대 흐름 인스턴스에서.

— jc
소스

-2

다음은 귀하의 질문에 대한 답변입니다.

이분자 매칭에 대한 Konig의 정리는 Max-Flow Min-Cut 정리를 사용하여 입증되었으며 결과적으로 감소했습니다. 코니 그의 정리는 다음과 같다. G가 이분 그래프 인 경우 max {| M | : M은 일치합니다} = min {| C | : C는 표지입니다}. 증명. max {| M |} ≤ {| C |} 부분은 간단합니다. P와 Q를 G의이 분할 클래스로하자. 우리는 두 개의 정점 r과 s를 G에 추가하고 아크는 rp마다 $p\in P$ 그리고 모든 것에 대한 qs $q \in Q$ 에서 직접 가장자리 pq $p\in P$ 에 $q\in Q$ . 이것은 digraph입니다 $G_{∗}$ . 용량을 정의합니다 u (rp) = 1, u (pq) = $\infty$ , u (qs) = 1. x를 실행 가능한 적분 흐름 x로 설정 한 다음 x (e) = 0 또는 1로 설정하여 M = { $e \in E$ : x (e) = 1}. M은 | M | = $f_{x}$ . 다음으로, G에서 일치하는 M은 실현 가능한 적분 흐름 x in을 발생시킵니다. $G_{∗}$ 유량 값 $f_{x}$ = | M | 다음과 같이. x (pq) = 1 인 경우 정의 $pq \in M$ p가 M의 모서리에 닿으면 x (rp) = 1이고, 다른 모든 경우에 x (e) = 0 인 경우 q가 M의 모서리에 닿으면 x (qs) = 1입니다. 따라서 M과 일치하는 최대 크기 G는 최대 유량에 해당 $G_{∗}$ Max-Flow Min-Cut 정리에 의해 최소화 된 크기와 크기가 같습니다. 최소 r-s 컷 δ (R)을 고려하십시오. 용량이 한정되어 있으므로 아크 pq가 없습니다. 그런 다음 G의 모든 모서리는 C = (P \ R) 요소로 입사합니다. $\cup (Q \cap R)$ 즉, C는 표지입니다. 또한 u (C) = | P \ R | + $|Q \cap R|$ C는 | M | 크기의 덮개입니다.

나는 이것이 당신이 질문에 묻는 내 의견의 모든 것임을 의미하며 이것은 내 잠재적 인 대답입니다 :).

— 마린 큐버
소스

여기서 LaTeX를 사용하여 좀 더 읽기 쉬운 방식으로 수학을 조판 할 수 있습니다. 짧은 소개는 여기 를 참조 하십시오 .

— DW

이것이 어떻게 질문에 대답하는지 명확히 할 수 있습니까? 최대 2 분자 일치 알고리즘을 사용하여 일반 그래프에서 최대 흐름 문제를 해결하는 알고리즘을 구성하고 있습니까? 그렇다면 알고리즘은 무엇입니까? 그것은 당신이하고있는 모든이의 특별한 경우를위한 최대 흐름 문제를 해결하는 방법을 보여주는 것 같아 이분 그래프 경우 특별한 경우를 모두 용량은 1입니다 . 그러나 물론 그 문제는 이미 설명했듯이 최대 일치와 사소하게 동일하므로 이것이 새로운 것을 어떻게 추가하는지는 알 수 없습니다. 또한 Konig의 정리 또는 정점 커버가 어떻게 관련되어 있는지 알지 못합니다.

— DW

이 경우 축소는 질문 세트에 대한 답변의 핵심입니다. 그리고 나는 이것이 @templatetypedef가 찾고있는 것을 정확하게 믿습니다. 최대 흐름 (일반 그래프)의 다항식 시간 감소가 다를 것이라고는 생각하지 않습니다. 나는 그것에 대해 다시 생각하고 아마도 무언가를 추가 할 것이지만 더 일반적인 감축을 위해 다른 인스턴스가 필요한 이유는 거의 알 수 없습니다. 그러나 공정한 포인트.

— marcincuber

이것은 최대 흐름과 일치하는 이분의 표준 교과서 축소입니다. 문제는 반대 방향의 감소를 요구합니다.

— JeffE