음의 가중치를 갖는 가중 방향 비순환 그래프에서 최소 st 컷

나는 다음과 같은 문제에 부딪쳤다.

실수 에지 가중치와 두 개의 정점 s와 t를 갖는 방향성 비순환 그래프가 주어지면 최소 st 컷을 계산합니다.

일반적인 그래프의 경우 가장자리가 가벼워지면 최대 컷을 간단하게 줄일 수 있기 때문에 NP-hard입니다 (잘못되면 정정하십시오).

DAG의 상황은 무엇입니까? 다항식 시간에 최소 컷 (또는 최대 컷)을 해결할 수 있습니까? NP-hard입니까, 그렇다면 그렇다면 근사 알고리즘이 있습니까?

나는 이것에 대한 작업을 찾으려고했지만 검색에서 잘못된 키워드를 사용하고 있었기 때문에 누군가가 이것에 대해 무언가를 알고 (또는 찾을 수 있기를) 바랐습니다.

— 성 조지
소스

min-cut의 선형 프로그래밍 공식화는 어디에서 실패합니까?

— 피터 쇼어

( en.wikipedia.org/wiki/… 의 표기법 사용 ) : 음수가 가중치 인 모서리의 경우 d_ {ij}가 임의로 클 수 있습니다. 위로부터 d_ {ij}를 경계로 설정하더라도 가중치가 음수 인 모서리의 경우 가능한 최대 값을 사용합니다. 따라서 그러한 프로그램에 대한 솔루션이 항상 유효한 st cut을 생성하지는 않습니다. 이러한 문제에 대한 경험이 많지 않아 잘못되었을 수 있으므로 수정하십시오. 기본적으로 최대 컷 (임의의 가중치 포함)을 DAG에 효율적으로 해결할 수 있는지 알고 싶습니다.

— George

이 작업을 수행하려면 첫 번째 불평등을 같음으로 변경해야합니다.

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$ . 나는 왜 그것이 왜 실패하는지 알지 못하지만 어쩌면 뭔가를 놓치고 있습니다. 나는 그것에 대해 많이 생각하지 않았습니다.

— 피터 쇼어

여기에 뭔가 빠진 사람 일 것입니다. 이 모든 것을 보장합니까

p_{i}

$p_i$ 적분 가치를 가지고? 하나는 묶을 수 있었다

p_{i}

$p_i$ 위에서 1로, 그러나 이것이 작동하는지 확실하지 않습니다. 문제는 이것이 해결 될 수 있다면 가장자리 무게를 반대로함으로써 최대 절단을 줄일 수 있고, 최대 절단은 NP-hard이기 때문에 불가능한 것 같습니다. 그러나 나는 여기에 잘못되었을 수 있습니다.

— George

st max-cut NP-hard가 DAG에 적합합니까? 그래프가 DAG가 아닌 경우주기가 있으면 불평등이 필요하기 때문에 해당 불평등을 같음으로 변경할 수 없습니다. 따라서 일반적인 경우 LP는 음수로 작동하지 않습니다.

— 피터 쇼어

의견에서 문제를 좀 더 다듬 었습니다. 보다 구체적으로 말하면 모든 가장자리가 소스에서 흘러 나오는 DAG가 있습니다. $s$ 싱크대쪽으로 $t$ (즉, 모든 모서리는 $s$ 에 $t$ ). 첫 번째 조각이 연결된 DAG의 두 조각 사이의 최소 컷을 찾으려고합니다. $s$ , 두 번째는 $t$ . 이 문제의 경우 마이너스 에지 가중치에서도 MIN-CUT에 대한 표준 선형 프로그래밍 알고리즘의 변형이 작동합니다.

우리는 Wikipedia 와 같은 표기법을 사용합니다 . 가장자리 비용 $(i,j)$ 이다 $c_{ij}$ . 우리는 잠재적 인 기능을 $p_i$ 각 노드에서 $d_{ij} = p_i - p_j$ . LP는

\begin{aligned} 미디엄 나는 엔 나는 미디엄 나는 지 이자형 & \sum_{(나는, 제이) \in 이자형} 씨_{나는 제이} 디_{나는 제이} \\ 에스 유 비 제이 이자형 씨 티 티 영형 & 디_{나는 제이} = 피_{나는} - 피_{제이} \forall (나는, 제이) \in 이자형 \\ 디_{나는 제이} \geq 0 \forall (나는, 제이) \in 이자형 \\ 피_{에스} = 1 \\ 피_{티} = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

이 방정식은 $0 \leq p_i \leq 1$ 모든 정점이 일부에 있기 때문에 $s$ – $t$ 통로. 마찬가지로, 이후 $d_{ij} = p_i - p_j$ 음이 아닌 곳에서 $s$ 에 $t$ 감소하고 있습니다. 우리는 여전히 LP를위한 최적의 솔루션이 있음을 보여줄 필요가 있습니다. $p_i$ 어느 한 쪽 $0$ 또는 $1$ . 이것은 위의 LP 솔루션에 대한 값이 컷의 예상 값이라는 사실에서 비롯됩니다. $C_w$ , 어디 $w$ 무작위로 선택 $[0,1]$ , 그리고 어디에서 잘라 $C_w$ 모든 정점을 넣어서 얻는다 $i$ 와 $p_i\geq w$ 첫 번째 정점 세트와 $p_i < w$ 두 번째 세트에서.

— 피터 쇼어
소스

훌륭한 답변 Peter에게 감사합니다. 첫눈에 분명하지 않았다

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$ 그러나 나는 그것을 얻었다 고 생각한다. 그러나 통합 솔루션에 대한 주장을 이해하는 데 어려움이 있습니다.

— George

@George : 일반적인 Min-Cut LP에 통합 솔루션이 있음을 보여주는 동일한 주장입니다. 온라인 어딘가에 더 길고 이해하기 쉬운 설명이 있어야합니다.

— 피터 쇼어

알았어 내가 찾아 볼게 도와 주셔서 감사합니다!

— 조지