(λ x. xx)에 유형이 있으면 유형 시스템이 일치하지 않습니까?

유형 시스템이 유형을 λ x . x x종료 또는 비 종료에 할당 할 수 (λx . x x) (λ x . x x)있는 경우 결과적으로 시스템이 일치하지 않습니까? 해당 시스템의 모든 유형이 거주합니까? 거짓을 증명할 수 있습니까?

lambda-calculus dependent-types

— MaiaVictor
소스

확실히, 타입을 할당하십시오 것입니다 하지 불일치에 대한 충분한 : 시스템에서 , 우리가 할 수있는 파생 $\lambda x. x\ x$ $F$

λ x . x x : (\forall X . X) \to (\forall X . X)

$\lambda x.x\ x:(\forall X.X)\rightarrow (\forall X.X)$

아주 간단한 방법으로 (이것은 좋은 운동입니다!). 그러나 는 2 차 산술의 일관성을 가정 할 때이 시스템에서 올바르게 입력 할 수 없습니다 이는 모든 잘 입력 된 항이 정규화되고 있음을 의미하기 때문입니다. $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

또한 시스템 는 일관성이 있습니다. 이것은 유형 의 모든 항을 보여줄 수 있기 때문에 두 정규화에서 는 일반적인 형식이나 훨씬 더 간단한 인수를 가질 수 없으며, 각 유형에 또는 세트가 할당 되고 모든 파생 가능한 유형에 및 가 할당 될 수 있습니다 는 로 지정 되므로 도출 할 수 없습니다. $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ $\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$ $\forall X.X$ $\varnothing$

후자의 주장은 1 차 산술로 수행 될 수 있습니다. 사실은 그 는 일관된 시스템에서 잘 타이핑 될 수 있으며 다소 혼란 스러워 보일 수 있으며 시스템의 불확실성 의 결과입니다 . 놀랍게도 일부 사람들은 즉석 논리 시스템의 신뢰성에 의문을 제기합니다. 그러나 지금까지 이러한 시스템에서는 불일치가 발견되지 않았습니다. $\lambda x.x\ x$

$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

자세한 내용은 관련 질문에 대한 내 대답에서 찾을 수 있습니다 : /cstheory//a/31321/3984

— 코디
소스

그 답을 읽음으로써 당신은 분명히 그 문제를 잘 이해하고 있습니다. 자세한 내용을 알고 싶지만 어디를 찾아야할지 모르겠습니다. 나는 TAPL 책을 살펴 보았고 그것에 대해 언급하지 않았기 때문에 이것이 유형 이론 주제인지 확실하지 않습니다. 이 질문과 관련된 CS / 수학 영역과 몇 권의 책 / 문서를 알려 주시겠습니까? 대단히 감사합니다.

— MaiaVictor

나는 이러한 질문들이 그 자체로 "연구 영역"이라고 확신하지 못하는데 , 전문가들의 진지한 노력이 있었다면 오래 전에 대답했을 몇 가지 재미있는 질문들과 비슷하다. 그것은 분명히 유형 이론 주제이며, Pure Type Systems의 이론은 문제를 명확하고 제한적이라는 장점이 있습니다. 다른 스레드에서 Coquand-Herbelin 용지를 추천합니다.

— 코디

예를 들어 here 과 here 같은 비슷한 질문이 있습니다 . Barendregt의 "lambda calculi with types" 을 목록에 추가합니다.

— 코디

λ x : (\forall X . X) . Λ Y . x [Y \to Y] (x [Y])

$\lambda x : (\forall X . X) . \Lambda Y . x [Y \to Y] \; (x [Y])$

(\forall X . X) \to (\forall X . X)

$(\forall X . X) \to (\forall X . X)$

λ

$\lambda$

λ x : (\forall X . X) . x [(\forall X . X) \to (\forall X . X)] x

$\lambda x:(\forall X.X). x[(\forall X.X)\rightarrow(\forall X.X)]\ x$ 원한다면 여기서는 형식 유추를 결정할 수 없지만 문제와 다소 직교합니다. 의존 유형이있을 때 상황은 분명하지 않지만 암묵적 수량화 (Miquel 's Calculus of Implicit Constructions)와 같은 CoC 버전이 있으므로 질문은 여전히 관련이 있습니다.

— 코디