그래프는 정확히 경로 너비 의 그래프 이거나 각 구성 요소가 캐터필라 인 포리스트 입니다. 캐터필러에는 두 가지 관련 특성이 있습니다.1
렘마 1. 모든 애벌레는 당신의 수업에 있습니다.
증명. 하자 애벌레를하고하자 정도의 모든 정점이 포함 된 긴 경로가 될 이상을. 최대로 입니다. 먼저 를 지그재그로 그린 다음 과 사이의 인접한 차수 꼭지점 을 추가하여 의 그림을 생성 할 수 있습니다 . 지피=엑스1…엑스ℓ2디(엑스1) = d(엑스ℓ) = 1지피1엑스나는엑스난 − 1엑스나는 + 1□
렘마 2. 클래스의 모든 그래프 는 비 주기적입니다.지
증명. 가정 사이클이 포함 가 필요한 형식의 도면을 가지고 생각합니다. Wlog, 는 이상 입니다. 그러나 및 행 이 교차 하므로 위에 가 있어야합니다 . 귀납적으로 은 모든 대해 보다 동일합니다 . 그런 다음 모든 줄지엑스1와이1엑스2와이2…엑스케이와이케이엑스1엑스2엑스1와이2와이1엑스1와이1엑스2와이2엑스나는 + 1엑스나는i ∈ { 1 , … , k - 1 }와이와이케이엑스1두 정점 열 사이의 영역을 떠나거나 사이클의 다른 모든 모서리를 교차해야합니다. 이것은 그래프에 적절한 그림이 있다는 가정과 모순됩니다. □
렘마 3. 연결된 모든 비 애벌레는 수업에 포함되지 않습니다.
증명. 애벌레가 아닌 연결된 그래프라고 하자 . 사이클이 포함되어 있으면 Lemma 의해 수업에 포함되지 않으므로 트리라고 가정 할 수 있습니다. 애벌레가 아닌 경우 별개의 이웃 , 및 가진 꼭짓점 가 있어야합니다. 각각은 최소 .지2엑스와이1와이2와이삼2
필요한 속성을 가진 의 그림이 있다고 가정하십시오 . Wlog, 는 이상 이고 은 이상 . 하자 의 이웃이 될 . 모서리 는 또는 교차해야 하며 그래프에 필요한 양식의 도면이 있다는 가정과 상반됩니다. 지와이2와이1와이삼와이2지≠ x와이2와이2지엑스와이1엑스와이삼□
정리. 여러분의 그래프 클래스는 정확히 각 구성 요소가 애벌레 인 삼림 클래스입니다.
증명. 를 그래프로 하자 . 모든 구성 요소가 다음과 같은 경우에만 가 클래스에 있음이 분명 합니다. 필요에 따라 구성 요소를 그릴 수 없으면 전체 그래프를 볼 수 없습니다. 필요에 따라 모든 구성 요소를 그릴 수 있으면 구성 요소를 다른 구성 요소 위에 배치하여 전체 그래프를 그릴 수 있습니다. 결과는 이제 Lemmas 및 다음에옵니다 . 지지1삼□
추론. 귀하의 그래프 클래스는 또는 의 하위 분류가 마이너로 없는 그래프 클래스입니다 .케이삼케이1 , 3
증명. 이것들은 path-width 대한 장애물입니다 1 . □
이들은 당신이 발견 기본적으로 장애물이다 : 당신이 필요로하는 대신 후자는 인정하기 때문 클래스로; 의 세분 은 정확히 두 번째 장애물입니다.케이삼케이4케이삼케이1 , 3