정점 주위에 모서리가없는 이분 그래프가 평면 인 조건

이분 그래프는 또는 마이너 가없는 경우 평면 입니다.$K_{3, 3}$$K_5$

가장자리가없는 "정점"세트가없는 평면 도면을 허용하는 데 필요한 또는 충분한 조건을 찾고 있습니다. 다음은 만족하는 도면입니다.

1. 한 부분의 모든 정점이 단일 세로선으로 그려집니다. 다른 부분의 꼭짓점은 평행 한 버티 클 선에 그려집니다.
2. 꼭지점을 제외하고는 모서리가 교차하지 않습니다.
3. 모서리는 모두 점 1의 두 세로선 사이의 무한대에 있습니다.

예를 들어, 오른쪽 하단을 제외한 여기의 모든 도면은 예가 아닙니다. Q와 R의 위치를 ​​교환하여 조건을 만족시키기 위해 왼쪽 하단 그래프를 다시 그릴 수 있습니다. 두 개의 그래프를 다시 그려서 조건을 만족시킬 수는 없습니다.

상단 두 개의 그래프는 내가 찾을 수있는 유일한 장애물입니다. 내 질문은 :

1. 이 문제의 이름이 있습니까?
2. 내가 놓친 다른 장애물이 있습니까?
3. 물론 미성년자로서이 두 가지 장애물 (내가 놓친 것들과 함께)이 필요하고 충분하다는 것을 어떻게 증명할 수 있는지에 대한 힌트.

이것은 외부 평면과 동일하지 않으며 는 외부 평면 (사각형으로 그릴 수 있음)이지만 위에서 언급 한 조건을 충족시키기 위해 그릴 수는 없습니다.$K_{2, 2}$

그래프는 정확히 경로 너비  의 그래프 이거나 각 구성 요소가 캐터필라 인 포리스트 입니다. 캐터필러에는 두 가지 관련 특성이 있습니다.$1$

• 그것들은 보다 큰 정도의 모든 정점을 포함하는 단일 경로가있는 나무입니다  .$1$

• 그들은 모든 정점이 최대 두 개의 잎이 아닌 이웃을 가진 나무입니다.

렘마 1. 모든 애벌레는 당신의 수업에 있습니다.

증명. 하자 애벌레를하고하자 정도의 모든 정점이 포함 된 긴 경로가 될  이상을. 최대로 입니다. 먼저 를 지그재그로 그린  다음 과  사이의 인접한 차수 꼭지점  을 추가하여 의 그림을 생성 할 수 있습니다  . $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$$x_{i+1}$$\Box$

렘마 2. 클래스의 모든 그래프 는 비 주기적입니다.$G$

증명. 가정 사이클이 포함 가 필요한 형식의 도면을 가지고 생각합니다. Wlog,  는 이상  입니다. 그러나 및  행 이 교차 하므로 위에  가 있어야합니다 . 귀납적으로  은 모든 대해 보다  동일합니다  . 그런 다음 모든 줄$G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$$x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$두 정점 열 사이의 영역을 떠나거나 사이클의 다른 모든 모서리를 교차해야합니다. 이것은 그래프에 적절한 그림이 있다는 가정과 모순됩니다. $\Box$

렘마 3. 연결된 모든 비 애벌레는 수업에 포함되지 않습니다.

증명. 애벌레가 아닌 연결된 그래프라고 하자 . 사이클이 포함되어 있으면 Lemma 의해 수업에 포함되지 않으므로  트리라고 가정 할 수 있습니다. 애벌레가 아닌 경우 별개의 이웃 , 및  가진 꼭짓점 가 있어야합니다.  각각은 최소   .$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

필요한 속성을 가진 의 그림이 있다고 가정하십시오  . Wlog,  는 이상  이고  은 이상  . 하자 의 이웃이 될  . 모서리  는 또는  교차해야 하며 그래프에 필요한 양식의 도면이 있다는 가정과 상반됩니다. $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

정리. 여러분의 그래프 클래스는 정확히 각 구성 요소가 애벌레 인 삼림 클래스입니다.

증명. 를 그래프로 하자 .  모든 구성 요소가 다음과 같은 경우에만 가 클래스에 있음이 분명 합니다. 필요에 따라 구성 요소를 그릴 수 없으면 전체 그래프를 볼 수 없습니다. 필요에 따라 모든 구성 요소를 그릴 수 있으면 구성 요소를 다른 구성 요소 위에 배치하여 전체 그래프를 그릴 수 있습니다. 결과는 이제 Lemmas 및  다음에옵니다 . $G$$G$$1$$3$$\Box$

추론. 귀하의 그래프 클래스는 또는 의 하위 분류가  마이너로 없는 그래프 클래스입니다 .$K_3$$K_{1,3}$

증명. 이것들은 path-width 대한 장애물입니다 $1$ . $\Box$

이들은 당신이 발견 기본적으로 장애물이다 : 당신이 필요로하는 대신 후자는 인정하기 때문 클래스로; 의 세분 은 정확히 두 번째 장애물입니다.$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

그래서 다음 대답은 내가 생각해 낸 것입니다.

이미 언급했듯이 재배치 할 수없는 경우는 두 가지뿐입니다.

Wikipedia 는 이분 그래프를 다음과 같이 정의하기 때문에 이분 그래프를 가정하면 두 번째 경우는 정확한 표현이 아닙니다 .$U$ 하나로 $V$.

편집 : 그래프를 잘못 읽었습니다. 죄송합니다.

이것은 우리에게만 $K_{2,2}$피하기를 원하는 조건 인 완전한 하위 그래프. 반대로, 충분한 조건은 이분 그래프에 자체 하위 그래프가 없다는 것입니다.

다른 하위 그래프가 유효하다는 것을 증명하기 위해 다음을 상상할 수 있습니다.

먼저 모서리가없고 임의의 모서리로 시작한다고 가정합니다. $e$. 다음 에지를 추가하면 가능한 세 가지 경우가 있습니다.

첫 번째 경우는 첫 번째 가장자리와 동일한 노드에서 시작하거나 끝나지 않는 노드가 있다는 것입니다. 이것은 아무런 문제없이 우리를 계속 삽입 할 수 있습니다.

두 번째 경우는 이미 존재하는 다른 가장자리와 교차하는 가장자리입니다. 이 경우 정점을 바꿔야합니다$V_1$ 또는 $V_2$ 새 가장자리 중 하나가있는 (이미 존재하는 가장자리가있는 것) $V_3$ 또는 $V_4$계속해서 기준을 충족시킵니다.

이것은 교체 할 노드에서 시작하거나 끝나는 가장자리가 더 이상 없다고 가정하여 다음 세 번째 경우로 이어집니다. 4 개의 정점 중 하나를 교체 한 후 $V1-V4$스왑 된 정점에서 다른 모든 연결을 추적해야합니다.

다시 한 번 우리는 세 가지 해결책 만 찾을 수 있습니다. 종료 연결을 추적하거나 이미 수행 한 단계를 반복합니다 (나머지 단계 모두 추적). 종료 노드에 도달하면 모든 추적 노드를 교체 할 수 있습니다.

마지막 가능한 사례는 이미 방문한 노드로 연결되어 완전한 하위 그래프를 남기고 언급 한 노드로 줄일 수 있습니다 $K_{2,2}$ 질환.

편집 :이 증거를 두 번째 경우로 확장하려면 다음 조건을 살펴 봐야합니다.

일반적으로 하나 이상의 허브 (3 개 이상의 연결)가있는 하위 그래프가 있으면 "거의"쉽습니다.

두 개 이상의 이웃이있는 진열장을 1 개보다 높은 경우 재 배열 할 수 없습니다 ($\langle k\rangle > 1$). 추가 이웃에 대한 지식을 제공하기 때문에 이것은 중요합니다. 우리는 원을 피하기 위해 더 이상 추적 할 필요조차 없지만 (첫 번째 경우와 같이) 인접한 이웃을 확인하는 것으로 충분합니다.

나 자신은이 분야에 대해 약간의 지식 만 가지고 있지만 가능한 해결책을 제공하기를 원하기 때문에 하나의 적절한 기사를 연결했습니다.

누구 든지이 문제의 이름을 지정한다면, 특히 Fáry의 정리와 완전한 이분법 하위 그래프의 생각에 따라이 솔루션을 생각해 냈기 때문에 배우고 싶습니다.