Presburger 산술의 이중 지수 복잡성 증명에 사용되는 트릭

나는 이것을 MathUnderflow에 게시했지만 답변을 얻지 못했기 때문에 여기에서 시도해 보았습니다.

나는 무엇보다도 Presburger 산술의 이중 지수 복잡성이 입증 된 Rabin과 Fischer의 오래된 논문 [가능한 경우 링크를 게시 할 것]을 읽고 있습니다.

이 증거 는 과 함께 " "을 비공식적으로 주장 하는 공식 의 존재에 의존합니다. . 이 공식의 구성은 논문에 나와 있지 않지만, 그 한계와 우리가 처분 할 때만 추가 할 수 있다는 사실을 고려할 때 아마도 그다지 중요하지 않다는 것을 고려하면 놀랍습니다! ¹$I_{n}(x)$$x < 2^{2^{kx+1}}$$|I_{n}| \in O(n)$

나중에이 공식의 구성은 이전에 Fischer에 의해 그리고 Volker Strassen에 의해 독립적으로 발견 된 "트릭"에 의존한다는 것을 알았지 만이 트릭을 자세히 설명하는 논문은 찾아 낼 수 없었습니다!

그래서 누군가 내가 말하고있는 논문에 대해 알고 있고 나를 지시하거나 나에게 속임수를 묘사 할 수 있다면 ...

Lipton의 블로그에 실린이 게시물 에는 논문에 대한 링크와 BTW의 트릭에 대한 언급이 포함되어있다 [그리고 불행히도 불충분하다.

¹ 이것이 막연한 설명임을 알고 있습니다. SX 게시물에는 충분히 자세한 설명이 너무 오래 걸리기 때문에 문제의 논문에 대해 이미 알고있는 누군가가 그 간단한 스케치로 할 수 있기를 바랍니다. .

Martin의 의견 (및 Yuval의 후속 조치)은 구조를 자세히 설명하는 참조를 제공합니다.

나는 그것이 화려한 증거 생각하기 때문에 약간의 정교한 것이다 : 기본적으로는 (덧셈과 곱셈 연산) PA의 결정 불가능의 "보통"증거를 수행하는,하지만 에 상대화$2^{2^{c\cdot n}}$ ! 즉, 그 수에 곱셈을 발현하는 (짧은) 화학식가 인, 즉 화학식 되도록 $M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

이제 이진수를 곱하기위한 Karatsuba 알고리즘 이나 행렬 곱셈을위한 특정 트릭을 연상시키는 결정적인 트릭을 사용하여 에 유도하여 을 만듭니다 .$M_n$$n$

의 정의에 는 다음과 같은 형식의 결합으로 끝낼 $M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

그러나 이것을

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

이 트릭은 ( 의 함수로서) 지수가 아닌 선형으로 크기를 증가시킵니다 .$n$

몇 가지 다른 트릭이 관련되어 있지만 이것이 주요 트릭입니다. 물론 재귀의 내부는 중요하지만 가라 쓰바 트릭과의 유사성은 정말 놀랍습니다.