다음 문제를 SAT로 줄이십시오.

여기에 문제가 있습니다. 주어지면 각 입니다. 거기 서브셋 최대 크기 되도록 모든 ? 이 문제를 SAT로 줄이기 위해 노력하고 있습니다. 해결책에 대한 내 생각은 1에서 까지 변수 를 갖는 것입니다 . 경우 각 에 대해 절 하십시오 . 그런 다음이 모든 절을 함께 사용하십시오. 그러나 이것은 의 제약을 나타내지 않으므로 완벽한 솔루션이 아닙니다. $k, n, T_1, \ldots, T_m$ $T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$ $S \subseteq \{1, \ldots, n\}$ $k$ $S \cap T_i \neq \emptyset$ $i$ $x_i$ $n$ $T_i$ $(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$ $T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$ $S$ 최대 요소를 가져야합니다 . 더 많은 변수를 만들어야한다는 것을 알고 있지만 방법을 잘 모르겠습니다. 그래서 두 가지 질문이 있습니다. $k$

해결책에 대한 나의 생각이 올바른 길에 있습니까?
카디널리티 제한 조건 을 나타내는 데 사용할 수 있도록 새 변수를 어떻게 작성해야 합니까? $k$

complexity-theory reductions np-hard

— 아덴 동
소스

비고 : 문제는 SET COVER 문제 와 동등한 공식 인 HITTING SET 입니다.

— A.Schulz

답변:

크기가 하이퍼 그래프 횡단 을 계산하려는 것 같습니다 . 즉, 은 하이퍼 그래프이고 는 가로입니다. 표준 번역은 절을 그대로 표현한 다음 길이 제한을 카디널리티 제약 조건으로 변환하는 것입니다. $k$ $\{T_1,\dots,T_m\}$ $S$

따라서 기존 인코딩 (예 : 을 사용한 다음 인코딩 절을 추가하십시오 . $\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$ $\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$ 는 카디널리티 제한 조건입니다. SAT에는 다양한 카디널리티 제약 조건 변환이 있습니다.

가장 단순하지만 다소 큰 카디널리티 제한 조건 변환은 입니다. 이런 식으로 각 분리는 k + 1 크기 의 의 모든 부분 집합 에 대한 제약 조건 나타냅니다 . 즉, k 개 이상의 변수를 설정할 수있는 방법이 없도록합니다. 이것은 다항식 크기가 아닙니다. $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$ $\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$ $X$ $\{1,\dots,n\}$ $k$

공간적으로 효율적인 카디널리티 제약 조건 변환에 관한 논문의 일부 링크 는 다항식 크기 ( $k$ .

의사 부울 제약 조건을 SAT로 변환 -Niklas Eén 및 Niklas Sörensson, JSAT 2 권 (2006), 1-26 페이지 (좋은 조사).
부울 카디널리티 제약의 효율적인 CNF 인코딩 -올리비에 베일리와 야시네 부카 흐드, 원리 프로그래밍과 제약 조건 프로그래밍 실습 2003, LNCS vol 2833, pg 108-122 (좋은, 구현하기 매우 쉬운).
불리언 카디널리티 제약 조건의 최적의 CNF 인코딩을 향한 -Carsten Sinz-절차 및 제약 조건 프로그래밍 실습 2005, LNCS 3709, pg 827-831.
카디널리티 제약 조건의 강력한 CNF 인코딩으로 -Joao Marques-Silva 및 Inês Lynce, 원칙 및 절차 프로그래밍 실습 2007, LNCS 4741, pg 483-497.

실제로 그러한 문제를 해결하는 데 관심이 있다면, 의사-부울 문제 (pseudo-boolean 문제에 대한 위키 기사 참조)를 공식화하고 의사-부울 솔버를 사용하는 것이 좋습니다 ( 의사-부울 경쟁 참조 ). 그렇게하면 카디널리티 제약은 의사-부울 제약 조건이고 언어의 일부입니다. 의사-부울 솔버가 직접 및보다 효율적으로 처리합니다.

— MGwynne
소스

링크가 깨졌을 때 사람들이 문서를 찾을 수 있도록 모든 링크를 간략하게 (적어도 저자와 제목) 설명하십시오. 가능하면 DOI를 사용하는 것이 가장 좋습니다.

— Raphael

@Raphael 좋은 지적입니다! 사과를 시작해야 했어요. 이제 모든 링크를 업데이트했습니다. Springer가 DOI를 제공하는지 확실하지 않지만 링크가 끊어지면 DOI를 찾을 수있는 충분한 정보가 있어야합니다. 참고 : 액세스 문제를 피하기 위해 Springer의 공식 PDF에 링크하지 않습니다.

— MGwynne

그러나 당신이 줄인 감소는 다항식 시간이 아닌 것 같습니다.

— Aden Dong

@AdenDong 당신은 다항식에 대해 아무 말도하지 않았다;). 간단한 카디널리티 제약 번역 I 언급은 다항식없는 (그러나 고정입니다 ). 논문 I 목록에 제시된 카디널리티 제약 변환 은 새로운 변수를 사용하여 다항식 표시 됩니다 . 이것을 명확하게하기 위해 답변을 업데이트했습니다.

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— MGwynne

MGwynne, 나는 미래 보장을 위해 유료 버전이더라도 무료로 추가 된 공식 DOI를 항상 연결하는 경향이 있습니다. 그러나 지금은 누구나 논문을 찾을 수 있어야하므로 완전히 괜찮습니다.

— Raphael

정상적인 SAT를 절대 설정하지 않은 경우 아이디어는 이미 기본적으로 SAT 인 MIN-ONES (양의 CNF 수식)으로 축소되었지만 최대 변수를 true로 설정할 수 있습니다 (엄격히 최적화입니다) 실제 변수의 수를 최소화하는 버전). $k$

마찬가지로 Parameterized Complexity 방향으로 향하는 경우 이미 기본적으로 WSAT ( $\Gamma_{2,1}^{+}$ )를 여기서 은 모든 긍정적 인 클래스입니다 CNF 공식 (이전과 동일하지만이 표기법은 조사에 도움이 될 수 있습니다). 이 경우 어떤 매개 변수화가 귀하의 경우에 유용한 지 살펴 봐야합니다. $\Gamma_{2,1}^{+}$

명시 적으로 축소를 찾고 있다고 가정하지만 그렇지 않은 경우 언제든지 Cook-Levin Theorem으로 돌아갈 수 있습니다 .

— 루크 매티 슨
소스