일부 조건에 따라 세트를 지정된 수의 분리 된 서브 세트로 분할하는 방법은 무엇입니까?

세트 $A\triangleq\{1,\ldots,k\}$ , 정수 $s\leqslant k$ 및 음이 아닌 정수 $a_{ij}$ 됩니다. 내 문제는 찾을 수 있습니다 $s$ 분리 된 부분 집합 $S_j$ 의 $\{1,\ldots,k\}$ 하도록 :

1. $\bigcup_{j=1}^s S_j=A$ ; 과
2. $|S_j|\leqslant a_{ij}$모든 $i\in S_j$ 및 j = 1, \ ldots, s에 대해 | S_j | \ leqslant a_ {ij}$j=1,\ldots,s$ .

이 문제를 해결하는 방법? 실현 가능한 해결책을 찾기가 어렵습니까?

$j\in\{1,\ldots,n\}$ 하고 숫자까지 i \ in \ {1, \ ldots, k \}를 할당 하는 일부 절차를 시도했기 때문에 문제를 해결하기가 쉽지 않다고 생각합니다. j에 할당 된 i$i\in\{1,\ldots,k\}$ 의 $i$ 할당 된 일부 i 에 대해 a_ {ij} 보다 큽니다 . 그러나 어떤 j에 할당 할 수없는 i 가 남아있을 수 있기 때문에 이것은 정확 하지 않습니다 (만족 할 수없는 a_ {ij} 때문에 ).$j$$a_{ij}$$i$$i$$j$$a_{ij}$

A의 모든 부분 집합을 생성하고 $A$각각을 테스트 해야 할 때 무차별 강제 방법 은 저에게 효과적 이지만 ( $k=8,n=3$ ) 매우 비효율적입니다.

이 문제는 Vertex Cover의 축소로 인한 NP-hard입니다.

정점 커버 문제에서 그래프 와 숫자 이 주어지며, 우리 의 임무는 에서 최대 정점 의 하위 집합 가 있는지 확인 하여 모든 모서리 가 발생 하는지 확인하는 것입니다. 적어도 하나 개의 정점에 . (동일하게 : 최대 개의 정점 을 삭제하여 모든 모서리를 죽일 수 있습니까?)$G = (V, E)$$r$$U$$r$$V$$E$$U$$G$$r$

먼저, 분할 으로 분리 된 부분 집합은 각 요소에 할당 동등 정확히 하나 가능한 라벨. 축소의 기본 아이디어는 각 정점 에 대해 레이블 를 작성 하고 다음과 같은 의미에서 각 모서리에 해당 끝점에 해당하는 두 레이블 중 하나만 할당되도록 허용하는 것입니다. 레이블은 다른 레이블에 동일한 레이블을 할당 할 수있는 것에 대한 (정품) 제약을 도입하지 않고, 해당하지 않는 레이블에 모서리를 할당하면 다른 모서리에 동일한 레이블이 할당되지 않습니다. 물론 숫자를 올리는 효과가 있습니다 고유 라벨이 필요합니다.$A$$s$$A$$s$$S_j$$v_j$$V$

정점 표지 의 인스턴스 에서 문제 인스턴스 를 구성하려면 :$(A, a, s)$$(G, r)$

1. 를 설정하십시오 각 모서리 에 대해 에 요소 를 . (이러한 쌍은 정수 로 생각할 수 있습니다 .$k$$|E|$$(i, j)$$A$$v_iv_j$$E$$1, \dots, k$
2. 설정 로만약 또는 ; 그렇지 않으면 를 1로 설정하십시오.$a_{(b, c), d}$$|E|$$d=b$$d=c$$a_{(b, c), d}$
3. 설정하십시오 .$s=r$

경우 바로 라벨 선택 : 정점 커버의 YES-인스턴스이며, 그것은 문제의 단지 건설 한 예는 또한 YES 인스턴스는 것을 쉽게 알 수 정점에 상당 모든 솔루션에 각 모서리 대해 해당 요소 를 지정합니다. 레이블 또는 중 하나를 선택했습니다 (두 레이블을 모두 선택하면 임의로 선택). 이 용액을 사용하는 만 있기 때문에 서브 세트 및 유효 힘을위한 것들이다 대응$(G, r)$$S_j$$v_j$$U$$v_bv_c \in E$$(b, c) \in A$$S_b$$S_c$$s$$a_{ij}$라벨은 이상을 방지하는 (비) 효과를 갖습니다. 가장자리에 동일한 레이블이 지정됩니다.$|E|$

문제의 YES- 인스턴스 는 원본 이 정점 커버의 YES- 인스턴스 임을 암시합니다 . 부터 까지 의 유효한 솔루션 은 일반적으로 가장자리 해당 하지 않는 레이블 할당 할 수 있기 때문에 약간 더 복잡 합니다. 즉, . 유효한 솔루션 에서 유효한 정점 커버 를 반드시 "읽어냅니다" .$X=(A, a, s)$$(G, r)$$Y$$X$$(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$U$$Y$

그러나, 비 대응하는 라벨을 할당하는 심각한 용액의 구조를 제한하는 고비용 가지고 에지가 될 때마다 그러한 레이블 할당 가진 팩트 있다는 보장하지만 그것이 여야 만 이 라벨을 할당 가장자리. 따라서 이와 같이 해당 레이블이없는 가장자리 포함하는 모든 솔루션 에서 다음과 같이 대체 솔루션 를 구성 할 수 있습니다.$(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$a_{(i, j), m} = 1$$Y$$(i, j) \mapsto S_m$$Y'$

1. 에 대해 새 레이블 를 또는 .$S_z$$(i, j)$$S_i$$S_j$
2. 이 새 레이블을 할당하십시오 . 이로 인해 유효하지 않은 솔루션이 발생하는 경우 정확히 하나의 다른 모서리 , 레이블이 이미 지정 입니다. 이 경우 하고 1 단계로 이동하십시오.$(i, j)$$(i', j')$$z \notin \{i', j'\}$$S_z$$(i, j) = (i', j')$

위의 알고리즘은 두 가지 방법 중 하나로 종료해야합니다. 모순을 하지 않는 새 레이블 가 발견되거나 정점의 전체주기가 발견됩니다. 전자의 경우, 세트를 가진 유효한 새로운 솔루션 이 발견되고 후자의 경우에는 세트를 가진 유효한 새로운 솔루션 이 발견됩니다. 어느 쪽이든, 우리는 해당 레이블에 지정된 가장자리가 하나 이상있는 유효한 새 솔루션을 구성했습니다 . 이 전체 프로세스를 최대로 반복 한 후때때로, 우리는 원래의 정점 표지 문제에 대한 해결책을 읽을 수 있는 유효한 솔루션 를 생산할 것 입니다.$S_z$$s-1$$s$$|E|$$Y''$

이 구조는 분명히 다항식 시간이므로 문제가 NP-hard이기 때문입니다.