중단 문제의 결정 불가능한 증거

Halting Problem의 결정 불가능한 증거를 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

만약 반환 프로그램 여부 입력에가 정지 왜 우리의 코드를 통과해야 할 모두 와 ?a b P a $H(a,b)$$a$$b$$P$$a$$b$

왜 에 와 와 같은 임의의 입력 을 공급할 수 없습니까?P $H()$$P$$x$

증거는 모순을 찾는 것을 목표로합니다. 가 왜 자신에 대한 입력으로 사용 되는지 이해하려면 모순이 무엇인지 이해해야 합니다. 비공식적으로 모순은 : "a는 b를 받아 들인다"고 결정하는 기계 H (a, b)를 가지고 있다면 스스로 받아들이지 않는 기계를 받아들이는 기계를 만들 수있다. (읽기 당신이 때까지 몇 번 그것을 얻을.) 그림과 같이 기계를 -하자가 전화 - 않습니다 동의하지 ?M M ( P ) = P ⟨ P $P$$M$$M(P) =$$P$$\langle P \rangle$

당신이 요청하면 모순이 발생합니다 않는 동의 ? 모순이 있는지 두 가지 옵션을 찾아보십시오.⟨ 남 $M$$\langle M \rangle$

⟨ M ⟩ M ⟨ M $M$ 이 허용 하지 않는 경우에만 은 허용합니다 . ; 이것은 분명히 모순입니다.$\langle M \rangle$$M$$\langle M \rangle$

그렇기 때문에 증거가 임의의 입력이 아닌 자체 를 실행하는 것이 필수적입니다 . 이것은 대각선 인수로 알려진 불가능한 증거에서 공통적 인 주제입니다.$P$

잠시 동안 그림을 무시하십시오. 우리는 곧 그것을 얻을 것이다. 프로그램 중단 테스터 있어야하는데 우리가 줄 하는 A 프로그램의 입력 (생각 에 대한 모든에있는 프로그램의 목록으로) 아무것도 , 다음과 같이 행동H a a b H ( a , b $H(a, b)$$H$$a$$a$$b$$H(a, b)$

1. 가 입력으로 주어 졌을 때 정지로 표시된 프로그램 정지하면 는 "예"라고 대답합니다. 한편, 프로그램에 의해 기술 입력주지 영원히 실행 다음 "아니오"를 대답한다.b H ( a , b ) a b H ( a , b $a$$b$$H(a, b)$$a$$b$$H(a, b)$
2. 중요하게도, 프로그램 는 항상 정지하고 모든 쌍 대한 정답을 제공합니다 .( a , b $H$$(a, b)$

를 구축 할 수 없다는 주장 은 를 서브 루틴으로 사용 하는 특정 "가상"프로그램 의 동작에 의존합니다 . 는 입력으로 프로그램 의 목록을 취하고 다음을 수행합니다.P H P $H$$P$$H$$P$$x$

P(x) =
  run H(x, x)
  if H(x, x) answers "yes"
      loop forever
  else
      halt

그것을 보는 것은 어렵지 않습니다

$P(x)$ 는 입력으로 자체 설명이 주어지면 프로그램 가 영원히 실행될 경우에만 중단됩니다 .$x$

지금까지 너무 좋은 : 확실히 프로그램을 것입니다 긴만큼 의 서브 루틴 프로그램입니다.$P$$H$

이제 그림으로 돌아갑니다. 에 자체 설명 을 입력 하면 어떻게됩니까 ? 그림은 그 시나리오에 대해서만 설명합니다. 는 프로그램 의 설명이 되며 위의 강조 표시된 부분으로 대체하면p $P$$p$$P$

피 ( p $P(p)$프로그램 가 영원히 실행될 경우에만 가 중지됩니다 .$P(p)$

분명히,이 역설적 인 행동은 불가능하기 때문에, 서브 루틴 는 입력으로 주어진 경우에 실패하기 때문에 정지 테스터가 될 수 없다는 결론을 내야합니다 . 어디 다른 경우가있을 수 있습니다 예상대로 작동하지만, 이후 적어도 하나의 상황에서 실패 필요에 따라, 그것은 완전한 정지 테스터가 될 수 없습니다.( P , P ) H $H$$(p, p)$$H$$H$

애니메이션 으로 예쁘게 교정 해보십시오 . 그리고 답변에는 사이트 링크 만 포함되어야하므로 질문에 대한 답변이 여기에 있습니다.

먼저, Halting 오라클이 존재하지 않는다는 증거가 어떻게 작동하는지 상기 해 봅시다. 우리는 어떤 후보 주어진 것을 증명 H함침 된 오라클를 들어, 프로그램이 P및 입력 a되는 H정확하게 예측할하지 P(a)않습니다.

정리 : 하자가 H소요 어떤 프로그램이 될 이 개 항상 입력과 반환하거나 halt또는 loop. 그런 다음 if 및 if 만 반환 하는 중지 하는 프로그램 Q과 입력 이 있습니다 .aQ(a)H(Q,a)loop

증명. 프로그램을 고려

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

하자 Q = P및 a = P. 하나 H(Q,a) = halt또는 H(Q,a) = loop:

• 경우 H(Q,a) = halt한 다음 Q(a)(단지 인 P(P))의 정의에 의해 영원히 실행됩니다 P.
• 만약 H(Q,a) = loop한 다음 Q(a)의 definitoin 의해 중단 P.

QED

왜 우리가 다른 사람 H(P,P)대신에 우리를 고려했는지 물었습니다 . 확실한 대답은 " 증거가 작동 하기 때문 "입니다! 임의의을 사용했다면 멈출 것입니다. 실제로 증명은 다음과 같습니다.H(P,X)XH(P,P)H(P,X)X

깨진 증거. 프로그램을 고려

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

하자 Q = P및 a = X일부 임의의에 X. 하나 H(Q,X) = halt또는 H(Q,X) = loop:

• 중단 여부는 무엇을 반환 하는지에 따라 달라 지기 때문에 H(Q,X) = halt우리는 무엇을 할 수 없다고 가정하십시오 . 우리는 붙어 있습니다. 우리가 알고 경우, 그리고 같은, 우리는 진전을 만들 수 있습니다. (그래서 우리는 정말로 가져 가야합니다 ).P(X)P(X)H(X,X)P(X)X(X)X = P
• 경우에 H(Q,a) = loop우리는 다시 붙어 있으며, 우리는 경우에 떨어지게 될 것이다 X = P.

QED가 없습니다.

이것이 H(P,P)우리가 아이디어를 작동시키기 위해 고려해야한다는 것을 보여주기를 바랍니다 .

증거의 결론은 다음과 같습니다.

사람의 경우 주장 s는 / 그는 모든 사람의 감정 인식 할 수있는 의 / 그 때 무언가를보고, 다음 원고에게 가 보는 모든 사람에게 그 정서 의 반대 를 모방합니다 . 그리고 거울 앞에 그녀의 를 두십시오 . S / he 는 어떤 감정을 표현해야할지 모릅니다( P ) P ' ( P ' ) P ( P ) ( P ) ( P $P$$_{(P)}$$P^{\prime}$$_{(P^{\prime})}$$P$$_{(P)}$$_{(P)}$$_{(P)}$ . 🙂

아래 첨자 및 은 대명사를 명확하게하기 위해 사용됩니다.( P '$_{(P)}$$_{(P^{\prime})}$