2D에서 두 세트 사이의 가장 가까운 점 쌍

2 차원 평면에 두 개의 세트 점이 있습니다. I 포인트의 가장 가까운 쌍 찾을 하도록 , 와, 상기 유클리드 거리 가능한 한 적다. 이것을 얼마나 효율적으로 할 수 있습니까? 시간 내에 수행 할 수 있습니다 . 여기서 ? $S,T$ $s,t$ $s \in S$ $t \in T$ $s,t$ $O(n \log n)$ $n = |S|+|T|$

나는 하나의 세트가 주어진 경우 알아 , 다음 포인트의 가장 가까운 쌍을 찾을 가능성 에서 시간을 사용하여 표준 분할 정복 알고리즘을 . 그러나 또는 내의 가장 가까운 두 지점 사이의 거리와 해당 세트에서 가장 가까운 두 지점 사이의 거리 사이에 연결이 없기 때문에 해당 알고리즘은 두 세트의 경우 일반화되지 않는 것 같습니다 . $S$ $s,s' \in S$ $O(n \log n)$ $S$ $T$

집합 를 d 트리에 저장 한 다음 가장 가까운 이웃 쿼리를 사용하여 각 에 대해 에서 에 가장 가까운 점을 찾습니다 . 그러나이 경우 최악의 실행 시간은 시간 만큼 나쁠 수 있습니다 . 의 포인트 경우 말하는 결과가 있습니다 무작위 후, 분산되어 각 쿼리의 예상 실행 시간이 우리가 예상 실행 시간과 알고리즘을 얻을 것, 그래서 $T$ $k$ $s \in S$ $T$ $s$ $O(n^2)$ $T$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$ 점이 무작위로 분포된다는 보장을 받았지만 임의의 점 모음에서 작동하는 알고리즘을 찾고 있습니다 (무작위로 분포되지는 않음).

동기 부여 : 이 다른 질문에 효율적인 알고리즘이 유용 할 것 입니다.

algorithms computational-geometry

— DW
소스

답변:

예, 시간 이 될 수 있습니다 . 대한 보로 노이 다이어그램을 작성하십시오 . 그런 다음 각 점 에 포함 된 Voronoi 다이어그램의 셀을 찾으십시오. 해당 셀의 중심은 가장 가까운 점 입니다 . $O(n \log n)$ $T$ $s \in S$ $t \in T$ $s$

시간 에 Voronoi 다이어그램을 작성할 수 있으며 각 쿼리 ( 포함하는 셀 찾기 )는 시간에 수행 할 수 있으므로 총 실행 시간은 시간입니다. $O(n \log n)$ $s$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

— DW
소스

내가 생각해 낼 수있는 것보다 훨씬 간단합니다. :).

— aelguindy

좋은 접근 방식! 링크는 특히 쿼리 측면에서 도움이 될 것입니다. 일반적인 지점 위치 문제가

시간 내에 해결 될 수 있음을 보여주는 Wikipedia 페이지를 찾을 수 있지만 Voronoi 셀의 특별한 경우에 더 좋은 방법이 있습니까? 내 검색은 켜져 이 답변 그것에게하지,

방법을.

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

— j_random_hacker

점 위치 문제의 복잡성은 일반적으로 총 정점 수 (여기서는 보로 노이 다이어그램)로 표시됩니다. 이 수는

의 점 수보다 클 수 있으며

. 꼭짓점 수가

묶여 있는지 확실하지 않습니까?

T

$T$

n = | S | + | T |

$n = |S| + |T|$

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

— Albjenow

n

$n$

O (n)

$O(n)$

\leq 6 n

$\le 6n$

math.stackexchange에 대한이 질문 에서 올바른 것으로 보입니다 .

— Albjenow

$L^1$

$d$ $O(n \log^{d-1} n)$

$O(n \log n)$ $O(n \log^2 n)$

$S, T$ $S$ $-\delta_z$ $T$ $\delta_z$ $z$ $\delta_z$ $\delta_z$

— 엘 귀니
소스

P_{2}

$P_2$

p_{m}

$p_m$

P

$P$ $P$

q_{m}

$q_m$

Q

$Q$ $Q$

l

$l$

링크가 끊어졌습니다 :(

— Keerthana Gopalakrishnan