인접 행렬의 다항식을 검사하여 동 형사상을 그래프 화하는 순진한 접근에 관한 문헌

나는 아마도 오 탐지 (false positive)를 갖는 그래프 동형에 대한 접근 방식을 설명하고 그것이 작동하지 않음을 나타내는 문헌이 있는지 궁금합니다.

두 개의 인접 행렬 감안 , 동형 검사의시피 순 방법은 각 행에 대한 여부를 확인하는 의 , 로우가 의 행의 순열 붙이고, . 문제는 약간 더 엄격 합니다. 모든 행에 대해 "local isomorphism" 가 ? 갖는 행렬 를 구축함으로써 다항식 시간으로 국소 동형이 생성 될 수있다 ; 다음 및$G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$IFF에 로컬 동형 사이클 커버를 갖고, 사이클마다 커버 로컬 동형이다.$A$

모든 정규 그래프는 분명히이 방법을 속이기 때문에 약간 덜 순진한 접근 방식은 행렬의 거듭 제곱 를 계산하고 로컬 동 형사상을 확인하여 사실을 악용하는 것입니다. 사용자가 설정하여 복수의 매트릭스들을 가지고 찾을 때 어느 전력되도록 , 단지 마지막 사이클 커버 검사. 이보다 적은 순 접근법 설정 실제로 다항식 세트, 연산 회로의 세트, 및 발견하는 우리가 발견 될 때 어떤 다항식 P 와 P (G)를 [U] \되지 \ SIM P ( H) [v] .$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

이것은 나에게 동 형사상을 그래프로 만드는 매우 순진한 접근 방식으로 보입니다. 그래서 누군가가 이미 그것을 조사하고

Thm 무한히 많은 n 에 대해 모든 다항식 p , p (G) 및 p (H) 가 해당 순열에 의해 국소 적으로 동형 $n$이되도록 비 등방성 $n\times n$ 행렬 $G, H$ 및 순열 \ pi 가 있습니다 : p (G) \ overset {\ pi} {\ sim} p (H) .$\pi$$p$$p(G)$$p(H)$$p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

질문 : 그런 정리가 있습니까? 나는 문헌을보고 그것을 찾을 수 없다.

다항식 인 에 경계가있는 경우, 두 개의 비 동형 매트릭스마다 를 계산하여 로컬 동형이 반박됩니다. 또는 쉽게 계산할 수있는 다항식 , 각각 polynomially-bounded length이지만 지수 지수를 갖는 경우 그래프 동형에 대한 P 알고리즘이 있습니다. 그러한 다항식 (또는 산술 회로)을 추측하기 쉬운 경우 coRP 알고리즘이 있습니다. 로컬이 아닌 동형을 관찰 하기 위해 산술 회로가 항상 존재한다면, 이것은 coNP 알고리즘을 제공합니다 .$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

작은 필드에 대한 다항식을 계산하여 (예 : 모듈로 작은 소수를 계산하여) 고출력 매트릭스의 항목이 너무 커지는 문제를 피할 수 있습니다. A의 CONP의 알고리즘, 피 인증 장치 (101)는 이러한 소수를 제공 할 수 있습니다.

예, 그러한 정리가 다소 있습니다. 그것은 기본적으로 k- 차원 Weisfeiler-Lehman 절차가 그래프 동형 테스트에 대한 모든 알려진 조합 접근법을 포함한다고 주장합니다. (실제 제안은 실수가 아닌 경우 2 차원 Weisfeiler-Lehman 절차에 따라야합니다.) 각 고정 k에 대해 Cai-Fürer라고하는 k 차원 Weisfeiler-Lehman 절차에 대한 반례가 있습니다 임 머맨 건설.

먼저 Weisfeiler-Lehman 절차와 Cai-Fürer-Immmerman 구성의 기본 사항을 배웠습니다.

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Weisfeiler-Lehman 절차에 대한 설명은 여기에 설명 된 것보다 훨씬 많지만 최소한 Cai-Fürer-Immmerman 구조의 처리는 완벽하고 목적에 충분합니다. " Weisfeiler 리먼 절차 비 크라 먼 아빈으로는"주제에 초대로 의미 최근 짧은 에세이입니다.

아마도 내 대답에서 벗어나야 할 중요한 점은 k- 차원 Weisfeiler-Lehman 절차에 포함되지 않은 순수한 조합 동형 테스트 방법 (질문에 설명 된 것과 같은)을 발견한다면, 이 방법이 실제로 유용한 지 여부에 관계없이 이것은 자체적으로 획기적인 것입니다.