방법 요소의 최대 집합을 찾는

알고리즘 문제가 있습니다.

음이 아닌 n 개의 정수로 구성된 배열 (또는 집합) $T$ 가 주어 집니다. 최대 세트 찾기 S 의 T를 같은 그 모든 ∈ S , ⩾ | S | .$n$$S$$T$$a\in S$$a\geqslant |S|$

예를 들면 다음과 같습니다.

1. 만약에$T$ = [1, 3, 4, 1, 3, 6],$S$ 될 수있다 (3, 3), (6)] 또는 [3, 4, 6] 또는 [4, 3,6].
2. 에서는 $T$ = [7, 5, 1, 1, 7, 4] 다음 $S$ 이다 [7, 5, 7, 4].

이 재귀 함수를 시도했습니다.

function(T):
    if minimum(T) >= length(T): 
        return T
    else: 
        return function(T\minimum(T))

비 재귀 알고리즘이 있습니까? (재귀 알고리즘을 확인하지 않았으므로 결함이있을 수 있습니다.)

T를 정렬 한 다음 동안 요소를 가져옵니다 T[i] >= i+1.

예를 들면 sorted(T)=[6,4,3,3,1,1]. 그런 다음 T[0] = 6 > 1, T[1] = 4 > 2, T[2] = 3 <= 3그리고 마지막으로, T[3] = 3 < 4우리는있다 S = [T[0], T[1], T[2]].

내 댓글 출신이 밀접하게 학문적 생산성 평가에서 수량 유비쿼터스 관련되면, Hirsh 지수는 더 잘 알려진 -index$h$ . 간단히 말해서 이는 출판물의 수로서 정의된다 하나는 그들 각각 적어도 갖도록 보유 시간 서지 (최대 같은 시간 동안 ).$h$$h$$h$

당신의 문제가 다른 유일한 방법은 당신이 얼마나 많은 출판물이 기준을 만족시키는 지뿐만 아니라 그들의 인용 횟수가 무엇인지에 관심이 있다는 것입니다 . 그러나 그것은 사소한 수정입니다. 데이터가 이미 있으며 원래 알고리즘은 삭제합니다.

일반적으로 구현 된 계산 은 다소 간단하며 Karolis Juodelė의 답변에 동의합니다 .

업데이트 : 데이터의 크기와 특성에 따라 피봇 포인트 위와 아래에서 데이터를 필터링하여 배열을 부분적으로 정렬하는 방법을 탐색하는 것이 좋습니다 (quicksort가 떠 오릅니다). 그런 다음 너무 적거나 너무 많은지 여부에 따라 피벗을 포함하는 하위 집합에서 피벗 및 다시 실행을 조정합니다. 보다 높은 요소 사이에는 순서가 필요하지 않으며 확실히 그보다 낮은 요소 사이에는 필요하지 않습니다 . 예를 들어, 모든 요소가 h 1 보다 크거나 같은 것을 발견 하고 그 중 h 1 보다 작은 것이 발견되면 해당 하위 세트를 다시 만질 필요가 없습니다. 이는 퀵 정렬에 고유 한 재귀를 테일 재귀 로 변환 하므로 루프로 다시 쓸 수 있습니다.$h$$h_1$$h_1$

내 Haskell은 약간 녹슬지 만 위의 내용을 따라야 작동합니다. 어느 정도 이해할 수 있기를 바랍니다. 추가 설명을 드리겠습니다.

-- just a utility function
merge :: [a] -> [a] -> [a]
merge [] ys = ys
merge (x:xs) ys = x : merge xs ys

-- the actual implementation
topImpl :: [Int] -> [Int] -> [Int]
topImpl [] granted = granted
topImpl (x:xs) granted
  | x == (1 + lGreater + lGranted) = x : merge greater granted
  | x > (1 + lGreater + lGranted) = topImpl smaller (x : merge greater granted)
  | otherwise = topImpl greater granted
  where smaller = [y | y <- xs, y < x]
        greater = [y | y <- xs, y >= x]
        lGreater = length greater
        lGranted = length granted

-- starting point is: top of whole array, granted is empty
top :: [Int] -> [Int]
top arr = topImpl arr []

아이디어는 granted결과에 확실히 참여할 것으로 알고 있는 것을 수집하고 더 이상 정렬하지 않는 것입니다. fit greater과 함께 사용 하면 x운이 좋으며 그렇지 않은 경우 더 작은 하위 집합으로 시도해야합니다. (피벗은 x현재 간주 하위 목록의 첫 번째 항목 우연히 어떤 간단하다.) 참고 하나 가장 큰 요소 중 하나를 복용에 대한 중요한 장점은 우리가 평균 크기의 블록에이 작업을 수행한다는 것을 더 정렬 할 필요가 없습니다.$remaining/2$

예:

당신의 세트를 보자 [1,3,4,1,3,6].

1. x = 1, granted = [], greater = [3,4,1,3,6]. 우리 smaller는 첫 번째 단계에서 피벗이 너무 작을 때 (실제로는 너무 작음) 병리학 적 사례를 맞았습니다 . 운 좋게도 우리 알고는 그 준비가되어 있습니다. 혼자 버리고 x다시 시도합니다 greater.

2. x = 3, granted = [], greater = [4,3,6]. 함께, 그들은 길이 4의 배열을 형성하지만 우리는 아래에서 3으로 제한하기 때문에 너무 많습니다. greater혼자 반복하십시오 .

3. x = 4, granted = [], greater = [6]. 이것은 각각 ≥ 4의 2 요소 배열을 제공합니다. 이것을 유지하고에 반복하십시오 smaller = [3].

4. x = 3, granted = [4,6], greater = []. 이것은 함께 3 개 이상의 요소 3 개로 구성된 배열을 제공하므로 우리는 해 [3,4,6]를 구할 수 있습니다. 순열은 입력 순서에 따라 다를 수 있지만 항상 [3,3,6]또는 가능한 한 가장 높은 항을 포함합니다 [3,3,4].

(Btw. 재귀는 실제로 사이클로 축소되었습니다.) 복잡성이 저장된 비교가 많기 때문에 퀵 정렬보다 다소 낫습니다.

$n-1$

$O(\log n)$$O(n)$

$n$$O(n^2)$

위의 코드에는 불필요하게 비교할 smaller수 있습니다. 필요한지 여부를 계산 하는 것과 같이 쉽게 제거 할 수 있습니다. (나는 게으른 평가가 그것을 처리 할 것이라고 생각합니다.)

알고리즘에는 아무런 문제가 없으며 물론 대부분의 재귀 알고리즘은 루프로 변환 될 수 있습니다. 여기에서는 재귀 코드의 루프 버전입니다.

function(T):
    while minimum(T) <= lenght(T):
         remove minimum(T) from T
    loop

반복을 사용하기 위해 모든 재귀 알고리즘을 다시 작성할 수 있습니다. 결국 튜링 머신은 재귀에 대해 아무것도 모르지만 알고리즘을 구현할 수 있습니다. 원칙적으로 자체 스택 조작 코드를 작성하여 함수 매개 변수의 값과 로컬 변수를 기억함으로써 재귀 함수를 다시 작성할 수 있습니다. 이 특별한 경우, 함수는 꼬리 재귀 (재귀 호출이 반환되면 즉시 호출 한 것이 반환 됨)이므로 스택을 유지할 필요조차 없습니다.

전체 배열을 정렬 할 필요가 없으므로 min-heap을 사용하여 부분 힙 정렬을 수행하십시오.

주어진 임계 값을 초과 할 때까지 요소를 탐욕스럽게 유지하십시오.