을 감안할 때 타임 슬롯은 K의 사람들은 사고 싶은데요. 사람 i 는 각 시간 슬롯 j 에 대해 h ( i , j ) ≥ 0 값 을 갖습니다 . 각 사람은 하나의 연속 된 시간 슬롯 블록 만 구입할 수 있으며 이는 비어있을 수 있습니다.
판매자가 달성 할 수있는 최대 값을 계산하기 위한 다항식 알고리즘 이 있습니까?
연속성 제약이 없다면, 우리는 각 시간대를 가장 중요하게 생각하는 사람에게 줄 수 있습니다. 우리는 시간 슬롯의 순서로 고정하는 경우도, 명을, 동적 프로그래밍은 제의 최대 값에 대해 해결하기 위해 사용될 수 0 ≤ 난 ≤ k는 제 사는 사람들 0 ≤ J ≤ N 시간 슬롯들을.
답변:
변수 x 1 , … , x n 에 대해 절이있는 3CNF가 제공됩니다 . x i 와 ¯ x i 가 각각 최대 k i 번 공식에 있다고 가정합니다 .
정점이 세 부분으로 구성된 컬러 DAG 를 설계합니다 .
가장자리는 다음과 같습니다.
예를 들어, 3CNF
에서 다음 그래프가 구성됩니다 (가장자리 방향은 왼쪽에서 오른쪽으로).
이제 G 에서 서로 다른 정점 색상을 가진 - t 경로 가있는 경우에만 원래 3CNF가 만족 스럽다는 것을 알기가 어렵지 않습니다 .
(그런데, 착색 된 DAG에서 다른 버텍스 컬러를 가진 - t 경로의 존재가 NP-hard 인 것은 부산물입니다 . 나는 계산적 관점에서이 문제에 대한 많은 문헌을 찾지 못했습니다. 논평!)
그렇다면 와 OP의 문제 는 어떤 관계 입니까? 직관적으로 우리가 할 일은 행렬 h 를 디자인하여 각 색상이 행 (사람)에 매핑되고 가장자리가 연속 열 (타임 슬롯)에 매핑되도록하는 것입니다. 따라서 기본적으로 매트릭스에서 왼쪽에서 오른쪽으로 진행되는 최대 스케줄링은 s - t 경로에 해당 합니다.
행렬 는 2 n + 1 + ∑ i 2 k i + k 열을 가지며 , 인덱스는 0 에서 시작 합니다. 이하의 해석 X에서 , Y 는 2 개의 값이 1 ≪ X ≪ Y를 만족시킨다 . X / 1 , Y / X 의 비 는 k 와 n의 거듭 제곱 일 수 있습니다 . 하자 K를 전 = 2 전 + 2 Σ의 난의 J를.
예를 들어, 위의 예제 그래프에서 해당 행렬은
이제 최대 값이 경우에만 원래 3CNF를 만족시킬 수 있습니다.
최대 값을 달성하는 스케줄링을 고려하십시오. 정확히 있기 때문에 에 열 (H) 함유 Y는 , 그들은 모두 포함한다. 열에 대한 K 난 + k는 I + 1 의 두 가지 방법이 있습니다 Y는 로 스케줄링 양수인 그 가정 의 난을 . 열 K i 가 s i에 지정되어야하므로 연속적으로 열 K i + 1 에서 K i + k 를 잃어야합니다 . 열 할당 스케줄링 경우 같은 일이 일어날 K 내가 + 케이 난 + 1 으로 의 I + 1 .
따라서 값을 가지려면 변수에서 할당에 해당하는 행렬에서 사용 가능한 나머지 X를 모두 선택해야합니다 . 따라서 할당이 모든 절을 만족하는 경우에만 k 의 나머지 값을 얻을 수 있습니다.
결론적으로, 법적 스케줄링의 최대 값을 결정하는 것은 입니다. 어쩌면 이것이 알고리즘을 찾으려는 이전의 모든 시도가 실패한 이유 일 것입니다.
이 솔루션에는 문제가 있으며 곧 삭제 될 것입니다. templatetypedef의 주석을 참조하십시오.
최소 비용 흐름을 사용하여 다항식 시간으로이 문제를 해결할 수 있습니다 . 다음에서 모든 모서리에는 장치 용량이 있습니다.
이 네트워크의 최소 비용 흐름은 총 비용이 가능한 최대 이익의 마이너스와 같습니다. (이 비용은 제외 될 것이지만, 그 문제가 아니다.) 모든 사람되는 최적 일체 해결책이 이탈 한 에지 갖는 S I를 (1)의 흐름에 도달 한 에지 t I (1)의 흐름이 s i 또는 t i 에 입사하는 다른 모든 모서리의 흐름은 0입니다. 사람이 플로우 1 에지하자 내가 수 의 I V의 J 및 V K t 난 후 : K ≥ J vertices 중에서 유일한 경로 는 아래 첨자를 증가시키는 경로이기 때문 입니다. 경우 K = J 다음 사람 나는 시간 슬롯이 할당되지 않는다; 그렇지 않으면, 개인 i 에는 시간 슬롯 블록 j + 1 , … , k 가 할당 됩니다.