튜링 머신은 "정의 적으로"가장 강력한 머신입니까?

Turing Machine이 "모든 가능한 수학적 문제"를 수행 할 수 있다는 데 동의합니다. 그러나 그것은 단지 알고리즘의 기계적인 표현이기 때문입니다. 먼저 이것을 수행 한 다음 그렇게하고 결국 그것을 출력하십시오.

나는 해결할 수있는 것은 알고리즘으로 표현 될 수 있음을 의미합니다 (정확하게 '해결 가능'의 정의이기 때문에). 그것은 단지 타우 톨 로지 일뿐입니다. 나는 여기서 아무 말도하지 않았다.

그리고 알고리즘의 기계 표현을 만들어서 가능한 모든 문제를 해결한다는 것도 새로운 것이 아닙니다. 이것은 또한 단순한 타톨 로지입니다. 기본적으로 튜링 머신이 가장 강력한 머신이라고 할 때 가장 효과적인 머신은 가장 강력한 머신입니다!

"가장 강력한"정의 : 모든 언어를 받아 들일 수있는 것.
"알고리즘"의 정의 : 무엇이든하는 과정. "알고리즘"의 기계 표현 : 무엇이든 할 수있는 기계.

따라서 알고리즘의 머신 표현이 가장 강력한 머신이라는 것은 논리적입니다. Alan Turing이 우리에게 준 새로운 것은 무엇입니까?

Turing Machine이 "가능한 모든 수학적 문제"를 수행 할 수 있다는 데 동의합니다.

글쎄, 당신은 사실이 아니기 때문에해서는 안됩니다. 예를 들어, 튜링 머신은 정수 계수를 갖는 다항식에 정수 솔루션이 있는지 확인할 수 없습니다 ( 힐버트의 10 번째 문제 ).

튜링 머신은“정의 적으로”가장 강력한 머신입니까?

더 강력한 머신 의 무한한 계층 구조를 꿈꿀 수 있습니다 . 그러나 튜링 머신은 최소한 원칙적으로 구축 방법을 알고있는 가장 강력한 머신입니다. 그러나 그것은 정의가 아닙니다. 더 강력한 것을 구축하는 방법이나 가능한 경우에 대한 단서가 없다는 것은 의심 할 여지가 없습니다.

Alan Turing이 우리에게 준 새로운 것은 무엇입니까?

알고리즘의 공식적인 정의. 이러한 정의 (예 : Turing machine)가 없으면 "무언가를 해결하기 위해 유한하게 지정된 절차"에 따라 알고리즘에 대한 비공식적 인 정의 만 있습니다. 큰 확인. 그러나이 절차는 어떤 개별 단계를 거쳐야합니까?

기본 산술 연산 단계입니까? 커브의 그라디언트를 찾는 단계입니까? 다항식의 근을 찾는 것이 단계입니까? 다항식의 정수 근을 찾는 것이 단계입니까? 그것들 각각은 자연스러워 보입니다. 그러나 모든 것을 허용하면 "제한된 절차"가 Turing 머신보다 강력하므로 알고리즘으로는 해결할 수없는 것을 해결할 수 있습니다. 마지막 것을 제외한 모든 것을 허용하면 여전히 튜링 계산의 영역 내에 있습니다.

공식적인 알고리즘 정의가 없다면 이러한 질문을 할 수도 없습니다. 알고리즘 이 무엇인지 알 수 없기 때문에 알고리즘이 수행 할 수있는 작업에 대해 논의 할 수 없습니다 .

이것에 대해 또는 "그냥 팽팽한 것"에 대해 반복해서 진술 할 때 당신은 옳지 않습니다. 따라서 귀하의 주장을 약간의 역사적 맥락에 넣을 수 있습니다.

우선, 사용하는 개념을 정확하게 만들어야합니다. 무슨 문제입니까? 알고리즘이란 무엇입니까? 기계 란 무엇입니까? 당신은 이것들이 명백하다고 생각할 수도 있지만 1920 년대와 1930 년대의 좋은 부분은 이것을 알아 내기 위해 논리 학자들이 소비했습니다. 여러 제안이 있었는데, 그 중 하나는 튜링 기계였으며, 이는 가장 성공적이었습니다. 나중에 다른 제안은 튜링 기계와 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. "컴퓨터"라는 단어가 기계가 아니라 사람을 의미했던 시대를 상상해야합니다. 당신은 그것을 인식하지 않고 백 년 전의 훌륭한 마음으로 파도와 화려한 발명의 결과를 타고 있습니다.

튜링 기계는 상태, 헤드 및 작업 테이프 측면에서 구체적으로 설명됩니다. 이것이 우리가 살고있는 우주의 컴퓨팅 가능성을 소진 시킨다는 것은 분명하지 않습니다. 전기, 물 또는 양자 현상을 사용하여 더 강력한 기계를 만들 수 없습니까? 올바른 속도와 방향으로 튜링 기계를 블랙홀로 날아가서 우리에게 유한 한 시간으로 보이는 단계에서 무한히 많은 단계를 수행 할 수 있다면 어떨까요? "명백하게 그렇지 않다"고 말할 수 는 없습니다 . 일반적으로 상대성 이론을 먼저 계산해야합니다. 물리학이 병렬 우주를 통신하고 제어하는 ​​방법을 찾아서 수많은 튜링 머신을 병렬로 동시에 실행할 수 있다면 어떨까요?

현재 우리가 이런 일을 할 수 없다는 것은 중요 하지 않습니다 . 그러나 중요한 것은 Turing 이 ( 물리 에 대한 지식을 바탕 으로) 물리적으로 가능한 것에 대해 생각해야 한다는 것을 이해한다는 것 입니다. 그는 단지 "단순한 타우 톨 로지"를 기록하지 않았습니다. 그와는 거리가 멀어 비공식적 의미에서 계산이 의미하는 바를 신중하게 분석 한 다음 공식 모델을 제안하고이 모델이 사람들이 "계산"으로 이해 한 것을 포착한다고 매우 신중하게 주장했으며 이에 대한 몇 가지 중요한 이론을 도출했습니다. 이러한 이론 중 하나에 따르면 튜링 기계는 모든 수학적 문제를 해결할 수는 없습니다 (잘못된 진술 중 하나와 반대). 이 모든 것은 여름 방학 동안 작성된 한 장의 종이로, 학생이었던 동안.였다 현대 범용 컴퓨터의 아이디어의 발명. 그 후에는 단순한 엔지니어링 문제였습니다.

그것은 튜링이 단순한 타우 톨 로지 이상의 인류에 기여한 것에 대한 대답입니까? 실제로 그의 논문을 읽었 습니까?

"해석 할 수있는 것은 알고리즘으로 표현 될 수있다"는 것은 전혀 분명하지 않다.

Alonzo Church의 아이디어를 재 작업 한 Alan Turing이 당신이 말하는 기계의 형태를 취하는 계산 가능한 숫자의 정의를 제안한 이후로 이것은 논쟁의 대상이되었습니다. 중요한 것은 당시에는 이런 종류의 일을하는 사람들 만이 아니 었습니다.

"계산할 수있는 것"은 분명히 정확한 수학적 대상이 아니기 때문에 그 구조와 범위를 비추 론적 인 방식으로 연구 할 수 있기 때문에 우리는 여전히이를 논문 또는 추측이라고 부릅니다.

첫째, Turing Machines은 초기에 어떤 유형의 물리적으로 실현 가능한 컴퓨터의 모델이 아니라 단계별 기계에서 사람 이 계산할 수있는 것에 대한 이상적인 제한으로 Turing에 의해 처음 고안되었다는 점을 명심해야합니다. 태도 (직관을 사용하지 않고). 이 요점은 널리 오해되고 있습니다.이 주제와 관련 주제에 대한 훌륭한 설명은 [1]을 참조하십시오.

Turing이 그의 Turing Machines에 대해 가정 한 유한 한계는 인간의 감각 장치의 가정 된 한계를 기반으로합니다. 물리적으로 실현 가능한 컴퓨팅 장치 (및 유사한 교회-투어링 장치)에 대한 튜링 분석의 일반화는 로빈 간디 (Robin Gandy)로 인해 훨씬 ​​늦게 (1980 년)까지 이루어지지 않았습니다. Odifreddi가 p. [2]의 51 (고전적인 재귀 이론의 성경)

튜링 기계는 이론적 인 장치이지만 물리적 한계를 고려하여 설계되었습니다. 특히 다음과 같은 모델 제한 사항을 통합했습니다.

• (a) ATOMISM은 기계의 모든 구성에서 (유한 시스템으로) 코딩 될 수있는 정보의 양이 제한되도록 보장합니다. 과

• (b) 거리에서의 행동을 배제하고 지역적 상호 작용을 통해 인과 관계 영향을 전파함으로써 상대성. Gandy [1980]는 Turing machine의 개념이 정확한 의미에서 유사한 제한을 만족시키는 모든 컴퓨팅 장치를 가정하기에 충분히 일반적이라는 것을 보여 주었다.

그리고 p. 107 : (이산 적, 결정 론적 장치의 일반적인 이론)

분석 (Church [1957], Kolmogorov 및 Uspenskii [1958], Gandy [1980])은 원자주의와 상대성 가정에서 시작됩니다. 전자는 물질의 구조를 한정된 크기의 기본 입자의 유한 세트로 축소하여 기계를 기본 구성 요소 세트로 분해 할 수있는 이론적 가능성을 정당화합니다. 후자는 인과 적 변화의 전파 속도에 상한 (빛의 속도)을 부과하므로, 공간 V의 경계 영역에서 순간 t에서 생성 된 인과 효과를 영역에 의해 생성 된 행동으로 감소시킬 수있는 이론적 가능성을 정당화합니다. 물론 어떤 점은 어떤 점 V에서 c * t 이내의 거리를 갖는다. 물론, 가정은 연속적이거나 원거리에서 무한한 행동 (뉴턴 중력 시스템과 같은)을 허용하는 시스템을 고려하지 않는다.

Gandy의 분석에 따르면, 가능한 구성의 복잡성에 대한 고정 된 경계를 가진 모든 장치에 대해 행동이 회복된다는 사실이 밝혀졌습니다 로컬 및 글로벌 액션에 대한 결정적 지침 세트, 고정 된 유한, 로컬 및 글로벌 액션에 대한 결정적인 지침 세트 더욱이, 분석이 정확할 때, 임의의 완화 조건이 임의의 행동과 호환 될 수 있고, 따라서 재귀 적 행동에 대한 충분하고 필요한 설명을 제공한다는 의미에서 최적이다.

Gandy의 분석은 Turing Machines의 성능과 한계에 대한 매우 밝은 관점을 제공합니다. 이러한 문제에 대한 추가 통찰력을 얻는 것은 가치있는 독서입니다. 그러나 간디의 1980 년 논문 [3]은 일부인지 상황조차도 어렵다고 여겨진다는 점에 유의해야한다. [4]의 J. Shepherdson과 A. Makowsky의 논문을 먼저 읽는 것이 도움이 될 수 있습니다.

[1] Sieg, Wilfried. 기계적 절차와 수학적 경험. [71-117 페이지 수학과 마음. 1991 년 4 월 5 일부터 7 일까지 매사추세츠 주 애 머스트에있는 애 머스트 칼리지에서 열린 수학 철학에 관한 회의 논문. 편집 : Alexander George. 논리 계산. Philos., 옥스포드 대학교 Press : New York, 1994. ISBN : 0-19-507929-9 MR 96m : 00006 (리뷰어 : Stewart Shapiro) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Piergiorgio의 Odifreddi. 고전 재귀 이론. 함수와 자연수 집합에 대한 이론. GE Sacks의 서문으로. 논리 및 수학 기초 연구, 125. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1989. xviii + 668 pp. ISBN : 0-444-87295-7 MR 90d : 03072 (리뷰어 : Rodney G. Downey ) 03Dxx (03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] 간디, 로빈 메커니즘에 대한 교회의 논문 및 원리. Kleene 심포지엄. 1978 년 6 월 18 일부터 24 일까지 위스콘신 주 위스콘신 대학교에서 개최 된 심포지엄 진행. Jon Barwise, H. Jerome Keisler 및 Kenneth Kunen이 편집. 논리 및 수학 기초 연구, 101. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xx + 425 pp. ISBN : 0-444-85345-6 MR 82h : 03036 (검토 자 : Douglas Cenzer) 03D10 (03A05)

[4] 만능 튜링 기계 : 반세기 조사 두번째 버전. Rolf Herken에 의해 편집. Computerkultur [컴퓨터 문화], II. Springer-Verlag, 1995 년 비엔나. xvi + 611 pp. ISBN : 3-211-82637-8 MR 96j : 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)

내가 읽은이 질문에 대한 가장 인기있는 토론은 MIT 교수 Scott Aaronson의 에세이입니다 . 그는 무엇보다도 슈퍼 튜링 기계, 슈퍼 듀퍼 튜링 기계 및 슈퍼 듀퍼 푸퍼 튜링 기계의 의미를 탐구합니다.

아닙니다. TM은 가장 강력하지 않습니다. 두 가지 예 :

a) TM과 동일한 결과를 계산하지만 알고리즘 적으로 더 빠른 다른 기계가있을 수 있습니다 (예 : 주요 컴퓨터를 계산하는 양자 컴퓨터). "Faster"는 일종의 힘입니다.

b) TM은 완벽한 실수로 일반적인 실수를 나타낼 수 없습니다. 그러나 아날로그 컴퓨터 (AC)는 실수로 완벽한 정밀도로 표현하고 산술을 수행 할 수 있습니다. 이것은 어떤 TM보다 강력합니다.

물론 (b)는 우리 우주에 AC가 실수 값을 나타내는 데 사용할 수있는 몇 가지 연속적인 속성 (중력?)이 있어야합니다. 중력을 포함한 모든 물리적 특성이 양자화 될 수 있습니다. 그러나 우리는 연속 우주에서 기계에 대해 추측 할 수 있습니다. 따라서 TM은 "정의 적으로"가장 강력한 것은 아닙니다.

계산 복잡성을 살펴보면 튜링 머신은 가장 강력한 머신입니다. 메모리는 무제한이며 실제 머신은 없기 때문입니다. 실제 기계는 임의 크기의 문제를 해결할 수 없습니다. 그들은 심지어 문제를 읽을 수 없으며 훨씬 덜 해결합니다.

반면에 실제 튜링 머신을 구현하려고 시도한 경우 테이프가 부족하면 알람이 중지되고 알람이 울린다는 가정하에 모든 종류의 계산을 수행하는 데 더 많은 단계가 필요하다는 것을 알 수 있습니다 싼 전화로 실제 기계를 말하면 실제 문제를 해결하는 데 훨씬 느려집니다. 또한 테이프에 답을 쓰는 것이 좋은 사용자 인터페이스가 아니라는 것을 알게 될 것입니다. 그리고 많은 사람들이 문제를 해결하기 위해서가 아니라 친구에게 누드 사진을 보내고 고양이 비디오를 보는데 컴퓨터를 사용한다는 것을 알게 될 것입니다. 그리고 튜링 머신은 전혀 사용하지 않습니다.