람다 미적분학은 추상적이지 않은 것으로 보입니다. 그리고 나는 그것의 요점을 볼 수 없다

근본적인 질문 :

무엇 않습니다 람다 계산법은 우리가 일반적으로 중학교 대수에서 배운 기본 기능 특성과 표기법으로 할 수없는 것을 우리를 위해 할?

우선, 람다 미적분학의 맥락에서 초록은 무엇을 의미합니까? 초록이라는 단어에 대한 나의 이해는 개념의 개념적인 요약 인 기계와 분리 된 것입니다.

그러나 람다 함수는 함수 이름을 제거함으로써 특정 수준의 추상화를 방지합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

f(x) = x + 2
h(x, y) = x + 5 y

그러나 이러한 기능의 메커니즘을 정의하지 않아도 구성에 대해 쉽게 이야기 할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

1. h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y) or 
2. h . f . f . h

원한다면 논증을 포함 시키거나 무슨 일이 일어나고 있는지에 대해 개괄적으로 요약 할 수 있습니다. 또한 단일 기능으로 신속하게 줄일 수 있습니다. 작문 2를 보도록하겠습니다. 강조에 따라 쓸 수있는 세부적인 학생 계층을 가질 수 있습니다.

g = h . f . f . h
g(x, y) = h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y)
g(x, y) = h . f . f . h = x + 10 y + 4

람다 미적분으로 위를 수행하거나 적어도 함수를 정의합시다. 이것이 옳은지는 모르겠지만 첫 번째와 두 번째 표현식은 2 씩 증가한다고 생각합니다.

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

그리고 5y를 곱합니다.

(λz.y(5z))

추상적 이라기보다는, 이것은 더하기, 곱하기 등의 의미를 갖는 기계의 기계에 들어가는 것 같습니다. 내 생각에 추상화는 저수준이 아니라 고수준을 의미합니다.

또한, 나는 람다 미적분학이 왜 사물인지 알기 위해 고심하고 있습니다. 장점은 무엇입니까

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

위에

h(x) = x + 5 y

또는 결합 표기법

Hxy.x+5y

심지어 하스켈의 표기법

h x y = x + 5 * y

다시 말하지만, 람다 미적분학은 우리가 f (x) 스타일 함수 속성으로는 할 수없고 많은 사람들이 익숙한 표기법으로 우리를 위해 무엇을합니까?

람다 미적분이 중요한 이유는 여러 가지가 있습니다.

매우 중요한 이유는 람다 미적분을 통해 계산 함수가 일류 시민이라는 계산 모델을 가질 수 있기 때문입니다.

중학교 대수 언어 로 고차 함수 를 표현할 수는 없습니다 .

람다 식을 예로 들어

$$\lambda f. \lambda g. \lambda x. f(g(x))$$

이 간단한 표현은 람다 미적분학 내에서 함수 구성 자체가 함수라는 것을 보여줍니다. 중학교 대수에서는 쉽게 표현할 수 없습니다.

람다 미적분학에서는 함수가 결과로 함수를 반환한다는 것을 쉽게 표현할 수 있습니다.

다음은 작은 예입니다. 표현 (여기서 여기에는 덧셈과 정수 상수가 적용된 적용된 람다 미적분이라고 가정)

$$(\lambda f. \lambda g. \lambda x. f((g(x)))(\lambda x. x+2)$$

로 줄 것이다

$$\lambda g. \lambda x. g(x)+2$$

람다 미적분학 내에서 함수는 표현식 이며 형식의 정의는 아닙니다 . 이것은 함수의 이름을 지정하고 구문의 표현 범주와 구문의 정의 범주를 구별 할 필요가 없게합니다.$f(x) = e$

또한, 고차 함수를 표현하는 것이 불가능 해 지거나 (또는 ​​표기 적으로 성가 시게), 타입을 표현식에 할당하는 데 문제가있을 것입니다.

함수 구성에는 다형성 유형이 있습니다

$$\forall \alpha.\forall \beta. \forall \gamma. (\beta \rightarrow \gamma) \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow \gamma)$$

Hindley-Milner 타입 시스템에서.

람다 미적분에 대한 매우 강력한 판매 포인트는 입력 된 람다 미적분 의 개념입니다 . Haskell 및 ML 제품군과 같은 기능 프로그래밍 언어를위한 다양한 유형 시스템은 람다 계산을위한 유형 시스템을 기반으로하며 이러한 유형 시스템은 수학 이론의 형태로 강력한 보장을 제공합니다.

프로그램의 경우 잘 입력하고 전자가 잔류를 줄여 전자 ' 다음 전자 $e$$e$$e'$$e'$ 도 정형화 될 것이다.

만약 잘 입력 한 다음, 전자는 특정 오류가 발생하지 않습니다.$e$$e$

교정 프로그램과 같은 대응은 특히 주목할 만하다. Curry-Howard isomorphism (예 : https://www.rocq.inria.fr/semdoc/Presentations/20150217_PierreMariePedrot.pdf 참조 )은 간단하게 입력 된 람다 미적분학과 직관적 제안 논리 사이에 매우 정확한 대응 관계가 있음을 보여줍니다. 논리 화학식 대응 φ T를 . 증명의 φ T의 종류와 람다 기간에 대응 T , 및 증명에 절단 제거 수행이 용어에 대응하는 베타 - 환원.$T$$\phi_T$$\phi_T$$T$

중학교 대수학이 람다 미적분학에 대한 좋은 대안이라고 생각하는 사람들은 Curry-Howard isomorphism의 적절한 개념과 함께 고차의 다형성 유형 중학교 대수를 설명하는 것이 좋습니다. 중학교 대수학을 기반으로하는 대화 형 교정 도우미를 개발하여 Coq 및 Isabelle과 같은 람다 미적분학 기반 교정 도우미를 사용하여 공식화 된 많은 정리를 증명할 수 있다면 훨씬 더 좋습니다. 그런 다음 중학교 대수학을 사용하기 시작했고, 다른 많은 사람들도 나와 함께 할 것입니다.

함수가 젊은이에게 처음 설명 될 때, 함수는 본질적으로 그래프 (플로트) 또는 공식으로 식별됩니다. 이것이 수학에서 형식주의 경향이 출현하기 전에 함수가 역사적으로 이해 된 방식이다. 현재 기능은 첫 해의 수학에서 배운대로, 진짜 함수에서 함수이다 에 R .$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

람다 미적분학의 함수는 훨씬 일반적입니다. 정확한 정의는 람다 미적분이 입력되었는지 여부에 따라 다릅니다. 순수한 형식화되지 않은 람다 미적분학에서는 모든 것이 함수입니다. 이것은 미적분의 실제 기능보다 훨씬 일반적입니다.

절차 적 언어조차 람다 미적분학의 아이디어를 사용하기도합니다. C의 정렬 함수는 비교 함수를 매개 변수로 사용하여 요소를 비교하는 데 사용합니다. Lambda 미적분학은 훨씬 더 발전했습니다. 함수는 함수를 입력으로 받아 들일뿐만 아니라 출력 할 수도 있습니다.

람다 미적분은 튜링 머신과 동일한 성능의 계산 모델입니다. 그것은 그 자체로 완전한 시스템입니다. 순수 람다 미적분학에는 "5"또는 "+"가 기본 용어로 포함되어 있지 않습니다. "5"와 "+"가 집합 이론의 기본이 아닌 것처럼 미적분학 내부에서 정의 될 수 있습니다. (실제적인 프로그래밍 언어는 효율성을 위해 기본적으로 자연수를 구현합니다.)

람다 미적분학에 감동하지 않은 이유 중 하나는 그 아이디어가 프로그래밍 담론에 너무 많이 퍼져서 더 이상 혁신적으로 보이지 않기 때문이라고 생각합니다.

$x^2$$x$$x^2$

$\lambda x.x^2$$x^2$

$f$$f(x) = x^2$$f$

프로그래밍 언어에서 람다 식을 사용하면 비슷한 이점이 있습니다. 프로그램의 다른 곳에서 완전히 새로운 기능을 정의하지 않고 필요한 곳에서 기능을 수행 할 수 있습니다.

$\frac{d}{dx} x^2$$\frac{d}{dx}$$x^2$

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$\theta : V \to V^{**}$

$$\theta(v)(f) = f(v)$$

많은 사람들이이 이중 평가 표기법이 혼란스럽고 불안정하거나 기능에 대한 점별 정의의 재귀 적 사용을 발견합니다. 람다 추상화 버전

$$\theta = \lambda v . \lambda f . f(v)$$

그런 문제가 없습니다.

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마지막으로, "간단히 입력 된 람다 미적분학"은 기본적으로 "직교도 닫힌 범주"와 같은 추상적 인 넌센스 이론이 있습니다. 따라서 직교 폐쇄 범주에서 계산하려는 경우에는 사용하는 것이 좋습니다. 간단히 람다 미적분을 입력하면됩니다.

나는이 주제에 대해 전문가가 아니라는 것을 미리 말할 것이지만, 나는 그것을 연구하는 데 약간의 시간을 보냈으며 어떤 주제에서나에게 가장 매혹적인 것들 중 하나는 그 뒤에있는 역사입니다. 람다 미적분학의 역사를 이해하면 그것이 왜 유용한 지 설명하는 데 도움이됩니다 .

짧은 요약 집합 이론은 세트에 이륙하기 시작하고 수학을 재 구상을 기반으로 한 1900 년대 초반 이후, 일부 수학자는 집합 이론의 정의는 주장을 수 있지만 특정 구조가 존재한다는 것을 그들이 눈치이다 없는 당신에게 말할 방법 그것을 구성하고 계산합니다. 따라서 집합 이론적 정의는 비 구조적 입니다. 발전 할 수있는 방법이 있다면 수학자 궁금 시작 건설 뭔가 증명을 넘어 갈 것 정의 입니다 대신 증명 이 얼마나을 .

에서 위키 백과 :

수학에서 구성 증명은 객체를 생성하는 방법을 만들거나 제공하여 수학적 객체의 존재를 보여주는 증명 방법입니다. 이것은 예를 제공하지 않고 특정 종류의 물체의 존재를 증명하는 비 구조적 증거 (존재 증명 또는 순수한 존재 정리라고도 함)와 대조적입니다.

$*$

람다 미적분과 튜링 머신은 계산 가능한 기능을 나타낼 수 있으며 따라서 동등하다는 것을 알 수있었습니다.

이론적으로 모든 수학 함수 또는 개념은 람다 미적분학 형태로 인코딩되어 계산 될 수 있습니다. 이것은 람다 미적분학은 수학에 대해 완전히 별개의 기초가 될 수 있지만 분명히 지루한 일일 수 있음을 의미합니다.

Lambda 미적분학은 코드를 사용하여 코드를 작성하지 않을 것이라는 의미에서 "유용한"것은 아니지만 프로그램 및 동적 효과 를 설명 하는 데 사용되는 denatotional semantics 의 기초를 형성합니다 . 이것은 프로그램 정확성과 의미 적 의미에 대한 토론에서 사용됩니다. 또한 함수형 프로그래밍 언어의 개발에 큰 영향을 미쳤으며, 이는 람다 미적분에서 전체 실행 개념을 이끌어냅니다.

희망이 도움이됩니다.

추가 편집 : 나는 토폴로지, 람다 미적분학 및 물리학의 관계를 보여주는 이 논문 을 방금 지적했다 . 잠깐 동안이 환상적인 문장을 뛰어 넘었습니다.

튜링 머신은 이상적이고 단순화 된 컴퓨터 하드웨어 모델로 볼 수 있지만 람다 미적분학은 단순한 소프트웨어 모델과 비슷 합니다 . ... 시적으로 말하면, 람다 미적분학은 모든 것이 프로그램이고 모든 것이 데이터 인 우주를 설명합니다 : 프로그램은 데이터 입니다.

요점은 람다 미적분학은 이상적인 소프트웨어 계산 모델 이며 어떤 프로그래밍 언어 의 특정 구현 과도 관련이 없다는 것 입니다. 순수한 계산을 모델링 합니다.

Yuval은 논평에서 지적했듯이 Haskell은 기반으로합니다.$\lambda$ 미적분학을 . 람다 미적분이 매우 중요한 또 다른 이유 는 게으른 평가의 존재를 정당화하는 Church-Rosser Theorem 입니다. (하스켈의 많은 멋진 기능 중 하나입니다)

Lambda 미적분학은 프로그래밍 언어로 설계되지 않았습니다. 실제로, 그것은 우리가 프로그래밍 가능한 컴퓨터를 갖기 수십 년 전인 1930 년대에 만들어졌습니다. 오히려 계산 자체를 연구하기위한 공식 모델로 만들어졌습니다. 코드 또는 수학 함수를 얼마나 쉽게 표현하는지에 실망한 경우, 그게 목적이 아니기 때문입니다.

람다 미적분학은 익명 (일명 람다) 함수를 만들 수 있도록 존재합니다. 함수 이름을 없애지 않으면 네임 스페이스가 복잡해지고 사용 가능한 함수 이름이 부족할 수 있습니다. 이것은 명백한 이유로 함수 (또는 함수 포인터)를 반환하는 소위 "고차 함수"를 처리 할 때 특히 중요합니다.

기본적으로 람다 함수는 로컬 범위 변수와 같습니다. 람다 함수가없는 함수형 프로그래밍은 로컬 변수가없는 절차 적 프로그래밍, 즉 끔찍한 아이디어와 유사합니다.

"람다 미적분학이 왜 한 가지 일까?"수학자들은 중복성을 좋아합니다. 람다 미적분학은 표기법이 그다지 유용하지 않다는 것을 발견했기 때문에 수학에서 거의 사용되지 않습니다.

"중학교 대수학을 기반으로하는 대화식 교정 보조를 수행 할 수 있다면 Coq 및 Isabelle과 같은 람다 미적분학 기반 교정 보조를 사용하여 공식화 된 많은 이론을 증명할 수 있습니다. 훨씬 더 좋을 것입니다. 중학교 대수를 사용하기 시작하면 다른 많은 사람들도 저와 함께 할 것입니다. " 메타 매스에 대해 들어 보셨습니까? 거기에 관련된 람다 미적분학은 없으며 많은 coq / isabelle 정리를 증명할 수 있습니다.