튜링 머신의 정지와 동등한 수학적 추측

이 질문은 모든 수학적 정리가 단일 Turing 기계의 정지 여부에 대한 질문으로 축소 될 수 있는지에 관한 것입니다. 특히, 나는 현재 입증되지 않은 추측에 관심이 있습니다.

예를 들어, Wikipedia 는 현재 홀수의 완벽한 숫자가 있는지 알 수 없다고 말합니다 . 주어진 숫자가 완벽한 지 여부를 결정할 수 있기 때문에 각 홀수를 차례로 확인하고 완벽한 숫자를 찾으면 중지하는 Turing 머신을 작성할 수 있습니다. (이 Turing 머신은 입력을받지 않습니다.) 만약 Turing 머신이 멈추는 지 알면 추측이 참인지, 그 반대인지를 알 수 있습니다.

그러나 다른 예로 쌍둥이 프라임 추측은 어떻습니까? 주어진 숫자가 트윈 페어에서 첫 번째 소수인지 여부를 결정할 수 있지만,이 경우 첫 번째 숫자를 찾을 때 정지 할 수 없습니다. 문제는 무한한 숫자가 있는지에 관한 것입니다. 트윈 프라임 추측이 참일 경우에만 중단되는 튜링 기계를 만드는 것이 가능한지 확실하지 않습니다.

우리는 트윈 프라임 추측이 Peano 산술이나 다른 공식 시스템 내에서 입증 될 수 있는 경우에만 멈추는 Turing 기계를 만들 수 있지만, 그것이 선택한 특정 시스템에서는 입증 될 수 없기 때문에 다른 질문입니다.

그래서 내 질문은

• 트윈 프라임 추측이 참인 경우에만 멈추는 튜링 기계를 만들 수 있습니까? (그렇다면 어떻게?)
• 일반적으로 주어진 수학적 진술이 참일 경우에만 중단되는 튜링 기계를 만드는 것이 가능합니까? 이 튜링 기계는 공식적인 진술로 알고리즘 적으로 구성 할 수 있습니까?
• 일반적으로 가능하지 않은 경우, 수학적 진술을 단일 Turing 기계의 정지 또는 oracle 등 의 turing 기계와 동등한 지 여부로 분류 할 수있는 방법이 있습니까? 그렇다면,이 분류는 주어진 진술에 대해 결정 가능한가?

귀하의 질문은 산술 계층 에 의해 답변됩니다 . 홀수의 완벽한 숫자는 문이므로 Σ 1 기계를 사용하여 테스트 할 수 있습니다 . 쌍둥이 프라임 추측은 Π 2 진술이므로 진술이 거짓 인 경우 정지 오라클에 액세스하여 TM을 구성 할 수 있습니다.$\Sigma_1$$\Sigma_1$$\Pi_2$

문 IFF가 정지하는 엄격한 논리적 의미에서, 당신은 항상 튜링 기계를 만들 수 있습니다 원하는 분야$\phi$

1. 경우 보유하고있는가 정지 기계를 가지고.$\phi$
2. 경우 보유하지 않는 한 다음 정지를하지 않는 기계를 가지고.$\phi$

이 구성이 유효한지 확인하려면 다음과 같은 논리적 인 설명을 고려하십시오.

약간 다른 질문을하여이 혼란을 해결할 수 있습니다.

ϕ ∈ Φ iff ϕ 에서 멈추는 튜링 머신이 존재하도록 하는 일련의 진술 는 무엇입니까 ?$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

위에서 나는 진술이 그러한 집합을 형성 한다고 지적했다 .$\Sigma_1$

하자 , F ( 2 ) = 4 , 및하자 F를 ( N + 1 ) = F ( N ) ! 모든 정수 n ≥ 2 입니다. 양의 정수 n의 경우 Θ n 은 다음 명령문을 나타냅니다.$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

정수 x 1 에 유한하게 많은 솔루션이 있습니다$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$$\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

$\Theta_{16}$$0'$