루퍼트에게 선물용 가방을 산타보다 쉽게 ​​포장 할 수 있습니까?

^{또는 : 선물을 받으려면 루퍼트가 필요합니까?}

라우팅 문제는 제쳐두고 산타는 다음과 같은 문제에 직면합니다 (많은, 여러 번).

용량 ¹ 의 가방과 크기가 각각 i $C$ 인 선물 세트가 주어지면 , 그는 아이 { c 1 , … , c k }를 행복하게 만들고 싶어합니다 . 그는 자식하는 모든 소원 목록에서 알고있는 C의 J의 값을 현재 p는 내가 정확히 v에 I , J ∈ Q ≥ 0이 많이 있습니다.$\{p_1, \dots, p_n\}$$s_i$$\{c_1, \dots, c_k\}$$c_j$$p_i$$v_{i,j} \in \mathbb{Q}_{\geq 0}$

어떤 (페어의 분리 된) 선물 세트 $I_j \subseteq [1..n]$ 그 모든 것이 맞도록, 즉 각각의 아이를 데리러

$\qquad\displaystyle \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} s_i \leq C$,

그리고 가능한 한 많은 행복이 ², 즉

$\qquad\displaystyle \max! \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} v_{i,j}$

이것은 빈 포장이나 배낭보다 쉽지 않기 때문에 가난한 산타는 가방을 포장하는 데 오랜 시간을 소비해야합니다 ³³.

우리가 알다시피, 그의 조수 루퍼트는 무조건적으로주지 않습니다. 그는 에 대해 , 하위 은 연중 행동에 따라받을 수 있는 최대 값입니다 . 즉, 그는 추가 구속 조건을 추가합니다c $V_j$$c_j$

$\qquad\displaystyle \forall j \in [1..k].\ \sum_{i \in I_j} v_{i,j} \leq V_j$ .

그로 인해 봉투 포장 문제가 쉬워 집니까? 항상 그렇지 않다면 어떤 조건에서?

1. 경우] 의 C himney 직경이 제한 요소이고, 동일한 프레임 워크를 확립 할 수있다.
2. 공평 함과 다른 조잡한 아이디어에 대해 걱정하지 마십시오.
3. 따라서 매년 크리스마스는 하나만 있습니다. QED

이 질문을 재빨리 살펴본 후, 각 아동의 {행동, 최대 가치 제시}에 대한 Rupert의 추가 지식이 산타의 업무를 항상 더 쉽게 만들어주는 것은 아니라고 생각 합니다. 산타는 크리스마스 아침에 각 자본주의 아동이받는 행복을 극대화하기 위해 가방과 헝가리어 알고리즘을 채우기 위해 0/1 배낭을 수행해야합니다. 산타의 직업을 아주 단순하게 만드는 간단한 사례는 산타가 고려하고있는 모든 어린이들이 종이를 출판하지 않고 대신 루퍼트로부터 1 년 동안 비디오 게임을 한 적이없는 경우입니다 (각 어린이는 석탄을 얻습니다).