정확하게 n 세트 비트로 숫자를 생성하기위한 PRNG

현재 이진 데이터를 생성하는 코드를 작성 중입니다. 특정 수의 세트 비트로 64 비트 숫자를 생성해야합니다. 보다 정확하게, 프로시 저는 취하고 $0 < n < 64$정확히 $n$ 비트가 $1$ 설정되고 나머지는 0으로 설정된 의사 난수 64 비트 숫자를 반환해야합니다 .

내 현재 접근 방식은 다음과 같습니다.

1. 의사 난수 64 비트 숫자 생성하십시오 $k$.
2. 비트를 단위로 세어 $k$결과를 저장합니다 $b$.
3. 만약 $b = n$ , 출력 $k$ ; 그렇지 않으면 1로 이동하십시오.

이것은 효과가 있지만 우아하지 않은 것 같습니다. 이보다 $n$ 세트 비트로 숫자를 생성 할 수있는 PRNG 알고리즘 이 있습니까?

필요한 것은 0과 사이의 난수 입니다. 문제는 이것을 비트 패턴으로 바꾸는 것입니다.${ 64 \choose n } - 1$

이것을 열거 형 코딩이라고하며 가장 오래된 배포 압축 알고리즘 중 하나입니다. 아마도 가장 간단한 알고리즘은 Thomas Cover의 것입니다. 비트 길이 의 단어가 있고 설정된 비트가 가장 중요한 비트 순서 로 경우이 속성을 사용하는 모든 단어의 사전 순서 에서이 단어의 위치가 간단한 관찰을 기반으로합니다. 입니다 :$n$$x_k \ldots x_1$

$$\sum_{1 \le i \le k} { x_i \choose i}$$

예를 들어 7 비트 단어의 경우 :

$$i(0000111) = { 2 \choose 3 } + {1 \choose 2 } + {0 \choose 1} = 0$$ $$i(0001011) = { 3 \choose 3 } + {1 \choose 2 } + {0 \choose 1} = 1$$ $$i(0001101) = { 3 \choose 3 } + {2 \choose 2 } + {0 \choose 1} = 2$$

...등등.

서수에서 비트 패턴을 얻으려면 각 비트를 차례로 디코딩하면됩니다. C와 같은 언어로 이런 것이 있습니다 :

uint64_t decode(uint64_t ones, uint64_t ordinal)
{
    uint64_t bits = 0;
    for (uint64_t bit = 63; ones > 0; --bit)
    {
        uint64_t nCk = choose(bit, ones);
        if (ordinal >= nCk)
        {
            ordinal -= nCk;
            bits |= 1 << bit;
            --ones;
        }
    }
    return bits;
}

이항 계수는 최대 64 개만 필요하므로 미리 계산할 수 있습니다.

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• 커버, T., 열거 소스 인코딩 . 정보 이론에 관한 IEEE 거래, Vol IT-19, No 1, 1973 년 1 월.

다른 방법으로 얻은 가명과 매우 유사합니다.

별과 막대 방법 으로 사용 가능한 총 조합 수에 접근 할 수 있으므로 이어야 합니다. 숫자를 샘플링하려고 시도하는 총 64 비트 숫자의 수는 분명히 그보다 훨씬 높습니다.$c=\binom{64}{n}$

그런 다음 필요한 것은 에서 사이 의 의사 난수 에서 해당 64 비트 조합으로 이어질 수있는 함수입니다 .1 $k$$1$$c$

파스칼의 삼각형은 모든 노드의 값이 해당 노드에서 삼각형의 루트까지의 경로 수를 정확하게 나타내며 모든 왼쪽 경로가 레이블이 지정 되고 모든 오른쪽 회전은 됩니다.$1$$0$

따라서 는 결정하기 위해 남겨진 비트 수이고, 사용할 비트 수입니다.$x$$y$

우리는 이라는 것을 알고 있으며이를 사용하여 숫자의 다음 비트를 올바르게 결정할 수 있습니다 각 단계에서 :$\binom{x}{y}=\binom{x-1}{y}+\binom{x-1}{y-1}$

$\mathtt{while}\;\;\; x>0$

$\quad \mathtt{if}\;\;\; x>y$

$\qquad \mathtt{if}\;\;\;k>\binom{x-1}{y}: \;\;\;s \leftarrow s\; + \mathtt{"1"}, \;k\leftarrow k-\binom{x-1}{y}, \;y \leftarrow y-1$

$\qquad \mathtt{else}:\; \;s \leftarrow s\; + \mathtt{"0"}$

$\quad \mathtt{else}: \;\;s \leftarrow s\; + \mathtt{"1"}, \;y \leftarrow y-1$

$\quad x \leftarrow x-1$

또 다른 매우 우아한 방법은 이 stackoverflow 답변에 설명 된대로 이분법을 사용하는 것 입니다. 아이디어는 두 단어를 유지하는 것이며, 하나는 최대 k 비트 세트를 갖는 것으로 알려진 것과 다른 하나는 k 비트 이상을 설정 한 것으로 알려진 것입니다. 다음은이를 설명하기위한 소스 코드입니다.

word randomKBits(int k) {
    word min = 0;
    word max = word(~word(0)); // all 1s
    int n = 0;
    while (n != k) {
        word x = randomWord();
        x = min | (x & max);
        n = popcount(x);
        if (n > k)
            max = x;
        else
            min = x;
    }
    return min;
}

나는 다양한 방법 의 성능을 비교 했으며 k가 매우 작은 것으로 알려진 경우가 아니면 가장 빠릅니다.

다음을 수행 할 수 있습니다.

1) 에서 사이의 난수 생성하십시오 .$k$$1$$64$

2) th 을 설정하십시오 .$k$$0$$1$

3) 1 단계와 2 단계를 반복 배$n$

$A[]$ 이다 모두와 함께 비트 열 S$64$$0$

for(i=1 to n)
{
    k=ran(1,65-i) % random number between 1 and 65-i
    for(x=1;x<65;x++)
    {
        if(A[x]==0)k--;
        if(k==0)break;
    }
    A[x]=1;
}