unipathic 그래프는 몇 개의 모서리를 가질 수 있습니까?

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단일 경로 그래프는 하나의 정점에서 다른 정점으로 최대 하나의 간단한 경로가 있도록하는 유 방향 그래프입니다.

단일 경로 그래프에는주기가있을 수 있습니다. 예를 들어, 이중 연결 목록 (원형 목록이 아님)은 일관된 그래프입니다. 리스트에 요소가있는 경우 그래프는 길이 2의 주기를 가지며 총 입니다. $n$ $n-1$ $2(n-1)$

개의 꼭짓점이 있는 unipathic 그래프의 최대 모서리 수는 얼마입니까? 점근 적 경계 (예 : 또는 ) $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{영감을 얻은 계량 된 단일 경로 그래프에서 최단 경로 찾기 ; 에서 내 증거 , 나는 처음 모서리의 수라고 주장 원 있지만, 다음 사이클의 수를 경계하는 것은 충분한 것을 깨달았다. $O(n)$}

graphs combinatorics

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스

좋은 질문. 우리는 귀하의 하한 또는 내 상한을 개선하려고 노력해야합니다 :).

— RB

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단일 경로 그래프는 $\Theta(n^2)$ 모서리를 가질 수 있습니다 . unipathic이며 $n^2/4$ edge를 갖는 잘 알려진 그래프가 있습니다.

방향이 모서리 인 완전한 이분 그래프를 고려하십시오 $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ . 이 그래프는 단일 경로이며주기가 없습니다. 모든 경로의 길이는 $1$ 입니다. 그것은이 $2m$ 정점과 $m^2$ 가장자리를.

_{(후속 질문 :이 비율이 최대입니까? 아마도 다른 예제는 없습니다.이 예제는 기존 노드 사이에 추가하는 한쪽 가장자리가 unipathic 속성을 위반한다는 의미에서 최대입니다.)}

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스

"기존 노드 사이에 추가 한 한쪽 모서리가 단일 특성을 손상시킵니다."모서리를 추가하는 방법

은 특성을 어떻게 분리합니까?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO-Stop

1

나는 내 마음이 그날 어떻게 든 획일적이라고 생각한다 :) 최대로, 비율은 큰

대해 1/4로 갈 수 있지만

경우 이중 연결 목록은

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

이상에 일회성 그래프가 있는지 모르겠습니다. 모서리, 그러나이하를 나타내는 인수가 있습니다. $\frac{n^2}{4}$ 가장자리가 가능합니다 : $\frac{n^2}{2}+3$

있다는 모순 가정 그와 같은 그래프는 unipathic $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

비둘기 구멍 원리에 의해, 과 같은 가 존재한다 $v\in V$

디_{에} (V) \geq \frac{엔}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

넣어야하는 $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

공지 그 정점이 있다면 되도록 $x\in V\setminus \{v\}$

\exists 유_{1} \neq 유_{2} \in 유 : (엑스, 유_{1}), (엑스, 유_{2}) \in 이자형

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

그 다음 그래프 unipathic되지 않을 것 (AS 및 모두 유효 경로이다). $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

이것은 ( 에서 모서리를 추가 함)을 의미합니다 . $\{v\}\times U$

| 이자형 \cap (V \times 유) | \leq 2 | 유 |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| 이자형 | = | 이자형 \cap (V \times 유) | + | 이자형 \cap (V \times (V ∖ 유)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | 유 | + 엔 | V ∖ 유 | \leq 2 (\frac{엔}{2} + 1) + 엔 (\frac{엔}{2} - 1) < \frac{엔^{2}}{2} + 삼

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
소스