초 우주 란 무엇입니까?

나는이 유명한 논문 On Type Universes in Type Theory를 읽고 있습니다. 처음에는 SetωAgda 와 비슷한 것을 예상 했지만 더 일반적인 것으로 나타났습니다. 일반 유도 재귀 유형에서 바인더 ( 및 와 유사)까지 유니버스 구성을 일반화하는 것 같습니다 . 내가 묻고 싶은 주요 질문은 그 의도가 무엇입니까?$\Pi$$\Sigma$

일반적인 Tarski 스타일 유니버스를 정의하는 일부 Idris 코드는 다음과 같습니다.

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

나는 그것을 다음과 같이 일반화하려고합니다.

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

무엇이되어야 ???합니까? 이 논문의 저자는 우주가 정해진 전자에 의해 폐쇄되어야한다고 말했다.

편집 : 나는 ???단순히 생각 b...

우주 연산자와 그 아래에 초 우주가 닫힌다는 한 가지 의도 는 세트 이론에서 알려진 큰 추 기법 공리 의 유형 이론적 버전을 제공하는 것 입니다. 액세스 추기경 유형 이론적 우주 같다. 다음으로 흥미로운 추기경은 Mahlo 추기경 입니다. 직관적으로 말하면, Mahlo 추기경은 그 아래에 접근 할 수없는 추기경이 많이 있습니다. 이것이 유형 이론적 용어로 무엇입니까? 그것은 우주의 일종한다고 많이하고 거기에 우주의 많은. Palmgren이 슈퍼 우주를 고려할 때이 문제를 해결합니다.$U$

또한 많은 우주를 갖는 데에는 더 실용적인 측면이 있습니다. 모든 종류의 목적을 위해 유형 이론에 귀납적 재귀 유형을 갖는 것이 유용합니다. 그러나 그들은 우리에게 새로운 우주를 정의하게하므로 질문은 몇 개 입니까? Palmgren이하고있는 일에 대한 느낌을 얻으려면 바로 초 우주를 촬영하는 대신 Agda에서 다음과 같은 일련의 구성을 시도하십시오 (유도 재귀 사용).

1. 의 코드를 포함 하고 및 닫히는 하나의 유니버스 정의하십시오 . 이런 종류의 우주는 접근 할 수없는 추기경에 해당합니다 .$U_0$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$

2. 모든 유형 를 사용하고 (코드) 하고 및 닫히는 유니버스를 정의하는 연산자 를 정의하십시오 . 이러한 종류의 우주 연산자는 Grothendieck의 우주 공리 와 유사합니다 . 부터 를 반복적으로 적용하면 몇 개의 우주를 얻을 수 있습니까?$U$$A$$A$$\Pi$$\Sigma$$U$$\mathbb{N}$

3. 더 많은 유니버스를 얻기 위해 다음과 같이 많은 유니버스가 포함 된 초 우주 를 가정 합니다.$V$

   • $V$ 포함 $\mathbb{N}$아래에서 닫힙니다. $\Pi$ 과 $\Sigma$
   • 주어진 유형의 코드 $A : V$ 그리고 가족 $B : A \to V$우주가있다 $U$의 요소 인 $V$가족의 모든 유형을 포함합니다 $B$아래에서 닫힙니다. $\Pi$ 과 $\Sigma$.

   우주는 몇 개나 $V$있다? 우리는 가족을 얻을 수 있습니다$B : \mathbb{N} \to V$ 그런 $B(n)$ 입니다 $n$-번째 우주 등 $V$ 우주를 포함해야합니다 $U_\omega$이 모든 것을 포함합니다. 그리고 이것은 시작에 불과합니다!