DFS가 공간 복잡성 을 갖는 것으로 간주되는 이유는 무엇 입니까?

따르면 이러한 노트 , DFS는 것으로 간주되는 공간 복잡도, 트리의 분기 인자이며 상태 공간의 모든 경로의 최대 길이이다. $O(bm)$ $b$ $m$

이 Wikibook 페이지에서 정보가없는 검색 에 대해서도 마찬가지입니다 .

이제 DFS 에 관한 Wikipedia 기사 의 "infobox" 는 알고리즘의 공간 복잡성에 대해 다음을 제시합니다.

$O(|V|)$ , 전체 그래프를 반복하지 않고 순회하는 경우 중복 노드를 제거하지 않고 암시 적 그래프에 대해 최장 경로 길이 검색 $O($ $)$

이것은 내가 생각한 DFS의 공간 복잡성, 즉 과 더 유사합니다 . 여기서 은 알고리즘에 의해 도달되는 최대 길이입니다. $O(m)$ $m$

왜 이런 경우라고 생각합니까?

글쎄, 기본적으로 우리는 현재보고있는 경로의 노드 이외의 다른 노드를 저장할 필요가 없으므로 Wikibook과 내가 언급 한 메모 모두에서 제공 한 분석에서 를 곱할 필요가 없습니다. 에. $b$

또한, 본 항 에 종이 IDA * 의해 리차드 KORF , DFS의 공간 복잡도는 , 은 "깊이 컷"으로 간주된다. $O(d)$ $d$

그렇다면 DFS의 올바른 공간 복잡성은 무엇입니까?

구현에 따라 다를 수 있으므로 다른 알려진 구현의 공간 복잡성에 대한 설명을 부탁드립니다.

— 엔 브로
소스

DFS is considered to […] of the tree깊이를 먼저 통과 한 모든 그래프 가 트리 인 것은 아닙니다 .

— greybeard

"여기서 DFS 구현에는 X 비용이 있습니다"와 "DFS는 X 비용이되도록 구현할 수 있습니다"라는 차이점이 있습니다. 따라서 두 번째 종류의 다른 진술에 대해 논쟁하는 것 같습니다. (주 이후 전혀 모순이 없음을 , 경우 전혀 평균 아무것도입니다.)

O (b m) \supset O (m)

$O(bm) \supset O(m)$

O (b m)

$O(bm)$

— 라파엘

@greybeard 그래프에서 깊이 우선 탐색으로 트리가 생성되지 않는 예를 말씀해 주시겠습니까?

— nbro

example where a depth-first traversal on a graph would not result in a tree너무 많은 생각을하지 않고 : 파싱. (대기 : 무슨 의미 result in a tree인가요 : ? 질문은 그래프 검색 / 트래버스에 관한 것입니다.)

— greybeard

@greybeard 지금까지 찾은 모든 정의에 따르면. 노드를 다시 방문하는 정의를 찾으면 그것에 대해 논의 할 수 있습니다.

— nbro

답변:

정확히 DFS라고하는 것에 따라 다릅니다. 예를 들어 Wikipedia에 설명 된 알고리즘 DFS-iterative를 고려하고 이미 방문한 노드를 추적 할 필요가 없도록 트리에서 실행한다고 가정하십시오. 당신이 완전한에서 실행한다고 가정하자 깊이의 -ary 트리 . 최대 길이의 를 넘는 단어로 트리에서 노드를 식별 할 수 있습니다 . 알고리즘은 다음과 같이 작동합니다. $b$ $m$ $[b]$ $m$

루트에서 시작하십시오. 를 스택으로 밉니다 (역순). $1,2,\ldots,b$
팝 하고 스택에 를 밉니다 . $1$ $11,12,\ldots,1b$
팝 , 를 스택에 밀어 넣습니다 . $11$ $111,112,\ldots,11b$
$\ldots$
팝 하고 를 스택으로 밉니다 . $1^{m-1}$ $1^m,1^{m-1}2,\ldots,1^{m-1}b$

이 시점에서 스택에는

1^{m}, 1^{m - 1} 2, \dots, 1^{m - 1} b, \dots, 112, \dots, 11 b, 12, \dots, 1 b, 2, \dots, b,

$1^m,1^{m-1}2,\ldots,1^{m-1}b,\ldots,112,\ldots,11b,12,\ldots,1b,2,\ldots,b,$

총 노드. 스택 크기가 최대화되는 시간의 파인트인지 확인할 수 있습니다. $(b-1)m + 1$

— 유발 필름 러스
소스

파인트 타임은 의사를 멀리합니다.

— greybeard

여기에 두 가지 사항이 있습니다.

스택에 현재 노드의 모든 자손을 스택에 도입하는 경우 효과적으로 공간 복잡도는 여기서 는 분기 인자이고 는 최대 길이입니다. Yuval Filmus의 답변은 실제로이 경우를 나타냅니다. 그러나 일반적으로 는 보다 훨씬 큽니다 . 또한 슬라이딩 타일 퍼즐과 같은 많은 영역에서 는 상수에 의해 상한 (특정한 경우 4)이므로 DFS는 공간 복잡성이 라고 안전하게 말할 수 있습니다 . $O(bd)$ $b$ $d$ $d$ $b$ $b$ $O(d)$
그러나, 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 팬케이크 퍼즐에서 분기 계수는 최적 솔루션의 길이에 따라 증가하며 둘 다 비슷한 값을 갖습니다. 여전히 공간 복잡도는 입니다. 이것을 보려면 단순히 노드의 확장 절차를 조정하면됩니다. 현재 노드의 모든 하위 항목을 삽입하는 대신 (Yuval Filmus에서 제안한대로) 순서대로 삽입하십시오. 먼저 첫 번째 자손을 생성하고 깊이 우선 순서대로 진행 한 직후 --- 실제로이 시점에서 다른 모든 자손이 필요하지는 않습니다. $O(d)$ . 이 노드로 역 추적 한 경우 해당 하위 항목이 스택에서 제거되었습니다. 그런 다음 두 번째 자손을 생성하고 깊이 우선 순서대로 다시 진행하십시오. 이 노드로 역 추적하는 경우 더 이상 자손이 없을 때까지 세 번째 등을 생성하십시오. 이 방법으로 진행 하면 분기 계수 관계없이 스택에 노드 만있게됩니다 . $d$ $b$

요약하자면, DFS가 공간 복잡성을 가지고 있다고 말하지는 않을 것이며 대신 공간 복잡도는 라고 주장합니다 . $O(bd)$ $O(d)$

도움이 되었기를 바랍니다,

— 카를로스 리나 레스 로페즈
소스