k- 크릭 문제가 NP- 완전합니까?

그래프 이론 의 Clique 문제에 관한이 Wikipedia 기사에서는 처음에 그래프 G에서 K 크기의 크릭을 찾는 문제가 NP- 완전 함을 나타냅니다.

Cliques는 컴퓨터 과학에서도 연구되었습니다. 그래프에 주어진 크기의 clique가 있는지 확인하는 것 (clique 문제)은 NP-complete이지만,이 경도 결과에도 불구하고 cliques를 찾기위한 많은 알고리즘이 연구되었습니다.

그러나 CS 의 Clique 문제에 관한 다른 Wikipedia 기사에서는 고정 크기 k에 대한 문제를 해결하고 있다고 말합니다. k는 P의 문제이며, 다항식 시간에 강제로 발생할 수 있습니다.

그래프 G에 k-vertex clique가 있는지 여부를 테스트하고 그것이 포함 된 그러한 clique를 찾는 brute force algorithm은 적어도 k 개의 꼭짓점이있는 각 서브 그래프를 검사하고 그것이 clique를 형성하는지 확인하는 것입니다. 이 알고리즘은 시간 O (n ^ kk ^ 2)를 필요로합니다. 확인할 O (n ^ k) 서브 그래프가 있으며, 각각의 G에서 존재를 확인해야하는 O (k ^ 2) 모서리가 있습니다. 따라서, k가 고정 상수 일 때마다 다항식 시간에서 문제가 해결 될 수있다. 그러나 k가 문제에 대한 입력의 일부인 경우 시간은 지수입니다.

내가 여기서 놓친 것이 있습니까? 아마도 문제의 표현에 차이가 있습니까? 그리고 마지막 문장은 "k가 문제에 대한 입력의 일부인 경우 시간은 지수 적"이라는 것을 의미합니까? k가 문제에 대한 입력의 일부일 때 왜 차이가 있습니까?

내 생각은 그래프 G에서 크기 k의 도수를 찾으려면 먼저 G에서 노드 크기 k의 하위 집합을 선택하고 모두 다른 k 노드와 관련이 있는지 테스트한다는 것입니다. 시각. 그리고 k 크기의 도가 질 때까지 이것을 반복하십시오. G에서 선택할 수있는 k 개의 노드 세트 수는 n입니다! / k! * (nk) !.

@Lamine이 지적한 것만 정교화 : 가 입력의 일부인 경우 k 는 n 만큼 클 수 있습니다.$k$$k$ ,이 경우 전위 도당 세트 수는적어도있다. 따라서 순진한 알고리즘은입력 길이에서 지수 적으로시간이 걸립니다. vertex 그래프에서cliques를찾고있는매개 변수화 된 버전는가 입력의 일부이기 때문에 가장 일반적인 형태로 문제의 경도를 포착합니다. 따라서대한 다중 시간 알고리즘은 특정대한 다중 시간 알고리즘을 암시합니다.$\frac{n}{2}$($\binom{n}{\frac{n}{2}}$ 2$\left( \frac{n}{\frac{n}{2}} \right)^{\frac{n}{2}}$ | x| +| k| =n+lognG(n,k)knkG(n,k)$2^{\frac{n}{2}}$$|x|+|k|=n+\log n$$G(n,k)$$k$$n$$k$$G(n,k)$$k$