이 정렬 알고리즘은 최악의 경우 Θ (n²)가 아닌 Θ (n³)는 어떻습니까?

방금 데이터 구조 및 알고리즘에 대한 강의를 시작했으며 교수 조교는 정수 배열을 정렬하기 위해 다음과 같은 의사 코드를 제공했습니다.

void F3() {
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (A[i-1] > A[i]) {
            swap(i-1, i)
            i = 0
        }
    }
}

명확하지 않을 수도 있지만 여기서 $n$ 은 A정렬하려는 배열의 크기입니다 .

어쨌든, 교육 보조원은이 알고리즘이 $\Theta(n^3)$ 시간 (최악의 경우, 믿습니다)이라고 수업에 설명 했지만, 여러 번 정렬 된 배열로 처리하는 횟수에 관계없이 나에게 그것은 이어야 $\Theta(n^2)$하고 이어야합니다 $\Theta(n^3)$.

왜 이것이 아닌 인지 설명해 줄 수 있습니까?$Θ(n^3)$$Θ(n^2)$

이 알고리즘은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다

1. 반전A 을 찾을 때까지 스캔하십시오 .
2. 하나를 찾으면 바꾸고 다시 시작하십시오.
3. 없는 경우 종료하십시오.

이제 최대 반전이있을 수 있으며 각각을 찾으려면 선형 시간 스캔이 필요합니다. 따라서 최악의 실행 시간은 . 그것은 많은 성공에 패턴 일치 접근을 트립으로 아름다운 교수 예!$\binom{n}{2} \in \Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

참고 사항 : 약간 조심해야합니다. 일부 반전은 초기에, 늦게 나타나기 때문에 비용이 청구 된대로 (하한값에 대해) 추가되는 것은 그리 쉬운 일이 아닙니다. 또한 스왑이 새로운 반전을 일으키지 않음을 관찰해야합니다 . 역으로 정렬 된 배열의 경우에 대한 자세한 분석은 가우스 공식의 2 차 경우와 같은 결과를 낳습니다.

@ gnasher729는 적절하게 언급했듯이 입력을 정렬 할 때 실행 시간을 분석 하여 최악의 실행 시간이 임을 쉽게 알 수 있습니다 (이 입력 아마도 아니지만 최악의 경우).$\Omega(n^3)$$[1, 2, \dots, n, 2n, 2n-1, \dots, n+1]$

주의 : 거꾸로 정렬 된 배열이 모든 정렬 알고리즘에 대해 최악의 경우 입력이라고 가정하지 마십시오. 알고리즘에 따라 다릅니다. 역 정렬 된 배열이 최악의 경우가 아니며 최상의 경우에 가까운 정렬 알고리즘이 있습니다.

이에 대해 생각하는 다른 방법 i은 재설정되기 전에 최대 값이 되는 것입니다. 결과적으로 이전 정렬 순서가 A알고리즘의 런타임 에 어떤 영향 을 미치는지 에 대한 이유를보다 쉽게 ​​알 수 있습니다 .

특히 i새로운 최대 값을 설정하고 N이라고하면 배열 [A[0], ..., A[N-1]]이 오름차순으로 정렬됩니다.

그러면 요소 A[N]를 믹스에 추가하면 어떻게됩니까 ?

수학 :

자, 그것이 위치에 맞는다고 . 그럼 우리가 필요 (나는 나타내는 것이다 루프 반복 ) 장소로 이동하는 , 장소로 이동하기 위해 반복 , 및 일반적으로를 :$p_N$$N$$\text{steps}$$N-1$$N + (N-1)$$N-2$

$$\text{steps}_N(p_N) = N + (N-1) + (N-2) + \dots + (p_N+1) = \tfrac{1}{2}(N(N+1) - p_N(p_N+1))$$

무작위로 정렬 된 배열의 경우 은 다음 과 같이 각 에 대해 에 균일 분포를 취합니다 .$p_N$$\{0, 1,\dots, N\}$$N$

$$\mathbb{E}(\text{steps}_N(p_N)) = \sum_{a=1}^{N} \mathbb{P}(p_N = a)\text{steps}_N(a) = \sum_{a=1}^{N}\tfrac{1}{N}\tfrac{1}{2}(N(N+1) - a(a+1)) = \tfrac{1}{2} ( N(N+1) - \tfrac{1}{3}(N+1)(N+2)) = \tfrac{1}{3} (N^2-1) = \Theta(N^2)$$

합계는 Faulhaber의 공식 또는 하단의 Wolfram Alpha 링크를 사용하여 표시 할 수 있습니다.

반대로 정렬 된 배열의 경우 모든 대해 이고 다음과 같이 나타납니다.$p_N=0$$N$

$$\text{steps}_N(p_N) = \tfrac{1}{2}N(N+1)$$

정확히 다른 값보다 더 오래 .$p_N$

이미 정렬 된 배열의 경우 및 이며 하위 항은 관련성이 있습니다.$p_N = N$$\text{steps}_N(p_N) = 0$

총 시간:

총 시간을 얻기 위해 모든 대한 단계를 요약합니다 . (우리가 매우 조심 스러우면 스왑과 루프 반복을 요약하고 시작 및 종료 조건을 처리하지만 대부분의 경우 복잡성에 기여하지 않는 것을 쉽게 알 수 있습니다) .$N$

그리고 다시 기대의 선형성과 Faulhaber의 공식을 사용하십시오.

$$\text{Expected Total Steps} = \mathbb{E}(\sum_{N=1}^n \text{steps}_N(p_N)) = \sum_{N=1}^n \mathbb{E}(\text{steps}_N(p_N)) = \Theta(n^3)$$

물론 어떤 이유로 이 가 아닌 경우 (예 : 우리 있는 배열의 분포가 이미 정렬되어있는 것에 매우 가깝습니다), 항상 그런 것은 아닙니다 사실이다. 그러나 이것을 달성하려면 에 매우 구체적인 분포가 합니다!$\text{steps}_N(p_N)$$\Theta(N^2)$$p_N$

관련 독서 :

• https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+a(a%2B1)+from+a%3D1+to+a%3DN
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula-Faulhaber 의 공식

기권:

이것은 증거가 아닙니다 (일부 사람들은 마치 마치 마치 마치 마치 게시 한 것으로 생각하는 것 같습니다). 이것은 OP가 과제에 대한 의심을 해결하기 위해 수행 할 수있는 작은 실험 일뿐입니다.

몇 번이나 거꾸로 정렬 된 배열로 처리하더라도 아닌 이어야합니다 .$Θ(n^2)$$Θ(n^3)$

이러한 간단한 코드를 사용하면 와 를 파악하기가 어렵지 않으며 많은 실제 사례에서 이는 틈새를 확인하거나 기대치를 조정하는 유용한 방법입니다.$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

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@Raphael은 이미 귀하의 질문에 대답했지만 이 gnuplot 스크립트를 사용 하여이 프로그램의 출력을 맞추기 위해 발 차기 및 의 지수 값을보고 하고 다음 플롯을 생성했습니다 ( 첫 번째는 정규 스케일이고 두 번째는 로그 로그 스케일입니다.$f(x) = a\cdot x^b + c\cdot x$$2.99796166833222$$2.99223727692339$

이것이 도움이되기를 바랍니다.$\ddot\smile$

배열이 있다고 가정하십시오.

array a[10] = {10,8,9,6,7,4,5,2,3,0,1}

알고리즘은 다음을 수행합니다.

Scan(1) - Swap (10,8) => {8,10,9,6,7,4,5,2,3,0,1}  //keep looking at "10"
Scan(2) - Swap (10,9) => {8,9,10,6,7,4,5,2,3,0,1}
...
Scan(10) - Swap(10,1) => {8,9,6,7,4,5,2,3,0,1,10}

기본적으로 그것은 배열의 끝으로 가장 높은 요소를 이동시키고, 그렇게함으로써 각 스캔에서 효과적으로 시작 O(n^2)합니다. 그러나 n 개의 요소 가 있으므로이 n시간 을 반복해야합니다 . 이것은 공식적인 증거는 아니지만, "비공식적 인"방식으로 달리는 시간이 왜인지 이해하는 데 도움이 O(n^3)됩니다.

논리는 배열의 요소를 오름차순으로 정렬하는 것 같습니다.

가장 작은 숫자가 배열의 끝에 있다고 가정합니다 (a [n]). 그것이 올바른 장소에 오려면-(n + (n-1) + (n-2) + ... 3 + 2 + 1) 작업이 필요합니다. = O (n2).

배열의 단일 요소에는 O (n2) ops가 필요합니다. 따라서 건설에 대해서는 O (n3)입니다.