Bellman-Ford 알고리즘-왜 가장자리가 잘못된 순서로 업데이트 될 수 있습니까?

벨만 - 포드 알고리즘이 소스에서 최단 경로 결정 다른 정점을. 초기에 와 다른 모든 정점 사이 거리는 로 설정됩니다 . 그런 다음 에서 각 정점 까지 최단 경로 가 계산됩니다. 이것은 반복 에 대해 계속됩니다 . 내 질문은 :$s$$s$$\infty$$s$$|V|-1$

• 반복 이 필요한 이유는 무엇 입니까?$|V|-1$
• 가장자리를 다른 순서로 확인하면 문제가됩니까?
  먼저 가장자리 1,2,3을 확인하고 두 번째 반복에서는 2,3,1을 확인하십시오.

MIT 교수 Eric은 순서가 중요하지 않다고 말했지만 혼란 합니다. 값이 모서리 에 의존 하지만 이 이후 에 업데이트되면 알고리즘이 모서리 기반으로 노드를 잘못 업데이트하지 않습니까?$x_2$$x_1$$x_1$$x_2$

에서 t , s , v 1 , v 2 , … , v k , t 까지 의 최단 경로를 고려하십시오 . 이 경로는 최대 | V | 우리가 음의 가중치 사이클이 없다면, 가장 짧은 경로에서 정점을 반복하는 것은 항상 나쁜 생각이기 때문에 (또는 적어도 정점을 반복하지 않는 가장 짧은 경로가 있기 때문에) − 1 모서리.$s$$t$$s, v_1, v_2, \dots, v_k, t$$|V|-1$

라운드에서, 우리는 가장자리 알고 의 거리 추정치 있도록 완화 될 것이다 V 1 이 라운드 후 올바른 것입니다. 우리는 이 시점에서 v 1 이 무엇인지 모릅니다 . 그러나 모든 모서리를 이완 시켰으므로이 영역도 완화해야합니다. 라운드 2에서, 우리 는 어느 시점에서 휴식을 취합니다 ( v 1 , v 2 ) . 우리는 여전히 v 1 또는 v 2 가 무엇인지 알지 못하지만 거리 추정이 정확하다는 것을 알고 있습니다.$(s, v_1)$$v_1$$v_1$$(v_1, v_2)$$v_1$$v_2$

이 반복 약간 라운드 후에 , 우리는 한 편안 ( 브이 K , t ) 이후에 대한 거리 추정치, t는 정확하다. 우리는 전체 알고리즘이 끝날 때까지 k 가 무엇인지 알지 못하지만 (무게 가중치 사이클이 없다고 가정) 어느 시점에서 일어날 것이라는 것을 알고 있습니다.$k+1$$(v_k, t)$$t$$k$

따라서 중요한 관측은 라운드 후 가장 짧은 경로 의 i 번째 노드의 거리 추정값이 올바른 값으로 설정되어야한다는 것입니다. 경로가 최대로 | V | − 1 모서리, | V | − 1 라운드는이 최단 경로를 찾기에 충분합니다. 경우 | V | 라운드는 여전히 무언가를 바꾼 다음 이상한 일이 벌어지고 있습니다. 모든 경로는 이미 최종 값에 '정착'되어야하므로 음의 무게 사이클이 존재해야합니다.$i$$i$$|V|-1$$|V|-1$$|V|$

경로가없는 가장 긴 경로는 |V|입니다. 우리는 소스로 시작하므로 이미 길이 1의 경로가 있으므로 |V| - 1가장 긴 경로를 얻으려면 더 많은 노드 가 필요 합니다.

모든 주문은 불변성을 유지하기 때문에 순서는 중요하지 않습니다. n반복 후 각 노드의 값은 최대 비용을 s포함하는 노드 에서 최소 비용 경로의 비용보다 작거나 같습니다 n.

반복이 시작될 때 비용이 n노드 까지 올 바르면 반복이 끝날 때 n+1노드 까지 올 바릅니다 . 재정렬은 일부 노드가 일반적으로 업데이트되기 전에 비용이 적게 들지만 결국 업데이트됩니다.