행렬 사슬 곱셈과 지수

크기가 각각 및 인 두 개의 행렬 와 있고 을 계산 하려면 먼저 식을 로 다시 작성하는 것이 더 효율적입니다 의 크기는 이지만 의 크기는 2 × 2 이므로 만 계산 한 다음 숫자로만 평가 합니다 .$A$$B$$1000\times2$$2\times1000$$(AB)^{5000}$$A(BA)^{4999}B$$AB$$1000\times1000$$BA$$2\times2$

이 문제의 일반화 된 버전을 해결하고 싶습니다. 다음을 포함하는 표현식을 최적화하는 합리적으로 효율적인 알고리즘 (무차별적인 힘이 아님)이 있습니까?

• 알려진 차원의 자유 행렬 변수
• 임의 하위 식의 곱
• 자연의 힘으로 올라간 임의의 하위 표현

... 자유 행렬 변수를 콘크리트 행렬 값으로 대체 한 후 수치 적으로 평가하는 데 가장 적은 양의 작업이 필요합니까?

매트릭스 체인 곱셈 문제는 내 문제의 특별한 경우이다.

편집하다:

이것은 잠정적 인 답변입니다. 직관적으로 옳아 보이지만 그것이 옳다는 증거는 없습니다. 그것이 올바른 것으로 판명되면, 나는 여전히 증거에 관심이 있습니다. (정확하지 않은 경우에는 반드시 수정하십시오.)

과 같이 거듭 제곱 한 모든 곱 에 대해 요인의 모든 주기적 순열을 고려하십시오.$(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$

• $(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$
• $A_1 (A_2 \ldots A_k A_1)^{n-1} A_2 \ldots A_k$
• $A_1 A_2 (A_3 \ldots A_k A_1 A_2)^{n-1} A_3 \ldots A_k$
• ...
• $A_1 A_2 \ldots A_{k-1} (A_k A_1 A_2 \ldots A_{k-1})^{n-1} A_k$

... 재귀 적으로. 각 거듭 제곱은 (분명히) 제곱에 의한 지수를 사용하여 계산되며, 다른 모든 제품은 행렬 체인 곱셈 알고리즘에 의해 반환 된 최적 순서를 사용하여 계산됩니다.

편집하다:

이전 편집에서 설명한 아이디어는 여전히 최적이 아닙니다. 제곱 알고리즘에 의한 지수는 실제로 또는 A n K 형식의 표현식을 평가합니다 . 여기서 K 는 반드시 항등 행렬이 아닙니다. 그러나 내 알고리즘은 ID 행렬과 같지 않은 K로 알고리즘을 제곱하여 지수를 사용할 가능성을 고려하지 않습니다 .$K A^n$$A^n K$$K$$K$

면책 조항 : 다음 방법은 최적의 것으로 엄격히 입증되지 않았습니다. 비공식 증거가 제공됩니다.

문제는 제품의 제곱을 고려할 때 가장 효율적인 순서를 찾는 것으로 줄어 듭니다.

예를 볼 때 예를 들어, , 우리는 최적 풀어야 ( B C ) (2) 이 팽창 이후 B C B C . A B C를 다시 연결하면 유용한 주문 정보가 추가되지 않습니다 . 여기서 직관은 최적 순서의 문제를 상향식으로 해결할 수 있기 때문에 동일한 행렬을 사용하는 더 많은 요소로 구성된 높은 순서는 관련이 없다는 것입니다.$(ABC)^{50}$$(ABC)^2$$ABCABC$$ABC$

$ABCABC$

$A(B(CA))BC$$A(B(CA))^{49}BC$

$(A_1 A_2 \cdots A_n)^m$$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$G$$A_1 \cdot A_2 \cdot G^{m-1} \cdot A_n$

$(AB)^n$$A$$B$$X \times Y$$Y \times X$$A$$B$

$X \times Y$
$Y \times X$
$Y \times Y$
$X \times X$

$X < Y$$Y ≤ X$

$X < Y$
$AB$$X \times X$$A$$B$$(AB)^n$

$Y ≤ X$
$BA$$Y \times Y$$A$$B$$A(BA)^{n-1}B$

$ABAB$

더 많은 행렬을 사용하면 인수가 비슷합니다. 아마도 귀납적 증거가 가능합니까? 일반적인 아이디어는 제곱에 대한 MCM을 해결하면 관련된 모든 행렬을 고려한 연산에 가장 적합한 크기를 찾을 수 있다는 것입니다.

사례 연구 :

julia> a=rand(1000,2);
julia> b=rand(2,1000);
julia> c=rand(1000,100);
julia> d=rand(100,1000);
julia> e=rand(1000,1000);

julia> @time (a*b*c*d*e)^30;
  0.395549 seconds (26 allocations: 77.058 MB, 1.58% gc time)

# Here I use an MCM solver to find out the optimal ordering for the square problem
julia> Using MatrixChainMultiply
julia> matrixchainmultiply("SOLVE_SQUARED", a,b,c,d,e,a,b,c,d,e)
Operation: SOLVE_SQUARED(A...) = begin  # none, line 1:
    A[1] * (((((A[2] * A[3]) * (A[4] * (A[5] * A[6]))) * (A[7] * A[8])) * A[9]) * A[10])
  end
Cost: 6800800

# Use the ordering found, note that exponentiation is applied to the group of 5 elements
julia> @time a*(((((b*c)*(d*(e*a)))^29*(b*c))*d)*e);
  0.009990 seconds (21 allocations: 7.684 MB)

# I also tried using the MCM for solving the problem directly
julia> @time matrixchainmultiply([30 instances of a,b,c,d,e]);
  0.094490 seconds (4.02 k allocations: 9.073 MB)

$A_1$$A_n$$A_i$$A_j$$O (n^3)$