총 학생 시간을 최소화하기위한 최적의 질문 순서 찾기

대학에 튜토리얼 세션이 있다고 가정합니다. 우리는 $k$ 질문 $Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$ 와 $n$ 명의 학생 $S = \{ s_1 \ldots s_n \}$ 있습니다. 각 학생은 각 학생의 질문, 즉의 특정 부분 집합에 의심의 여지가 $s_j$ ,하자 $Q_j \subseteq Q$ 학생이 의심을 가지고 질문을 설정합니다. 한다고 가정 $\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$ 하고 $\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$ .

모든 학생들은 처음에 튜토리얼 세션에 들어갑니다 ( $t = 0$ ). 이제 학생은 의심스러운 모든 질문에 대해 논의하자마자 튜토리얼 세션을 떠납니다. 각 질문을 논의하기 위해 걸리는 시간이 동일하다고 가정, 1 개 단위는 말 * . 튜토리얼 세션에서 t j 가 s j 가 소비 한 시간 이라고하자 . 우리는 최적의 순열 발견 할 σ 질문이 논의되는 ( q를 σ ( 1 ) ... Q의 σ ( N ) ) 등의 양 T σ =을$^*$$t_j$$s_j$$\sigma$$(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ 최소화된다.$T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$

다항식 시간 알고리즘을 설계하거나 -hardness를 증명할 수 없었습니다.$\mathsf{NP}$

우리는 문제의 결정 버전 정의 할 수 있습니다

여기서 는 Q j 세트입니다 . $\mathcal{F}_Q$$Q_j$

그런 다음 C에서 이진 검색을 사용하여 최소 를 찾고 T U T에 대한 오라클을 사용하여 다항식 시간에서 σ 에 부분 할당을 사용하여 최적의 σ 를 찾을 수 있습니다. 또한 최적의 σ 를 다항식 시간에 쉽게 확인할 수있는 인증서로 사용할 수 있기 때문에 T U T ∈ N P 입니다.$T_\sigma$$C$$\sigma$$\sigma$$\mathsf{TUT}$$\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$$\sigma$

내 질문 : N P- 완전합니까 아니면 다항식 시간 알고리즘을 설계 할 수 있습니까?$\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

참고 사항 : 그런데 실제 자습서 세션 후에이 질문에 대해 생각했습니다. TA는 일반적인 순서로 질문을 토론했습니다. 많은 학생들이 끝까지 기다려야했기 때문입니다.$q_1 \ldots q_n$

예 k = 3 이고 n = 2
이라고하자 . Q 1 = { q 3 } 및 Q 2 = { q 1 , q 2 , q 3 } 입니다. 우리가 볼 수있는 최적의 σ = ⟨ 3 , 1 , 2 ⟩ 그 경우 때문에 이야 한 후에 잎 t 1 = 1 과 s의 2 잎 후 t$k=3$$n=2$$Q_1 = \{q_3\}$$Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$$\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$$s_1$$t_1 = 1$$s_2$$t_2 = 3$ , 합이 4 그래서
우리는 순서에 따라 질문에 대해 논의하는 경우, 그러나 , 다음 이야 1 과 s의 2를 모두 끝까지 기다릴 필요가 t 1 = t 2 = 3 그래서, 합계는 6입니다.$\langle 1, 2, 3\rangle$$s_1$$s_2$$t_1 = t_2 = 3$

각 질문 q i 가논의하기 위해 x i 단위를취하는보다 일반적인 경우를 자유롭게 풀 수 있습니다!$^*$$q_i$$x_i$

문제 가 NP-hard 라고 생각합니다 . NP-hard 문제 와 밀접한 관련 이있는 문제 를 변환하는 방법을 보여 드리겠습니다 . (예, 이것은 모두 모호합니다. 기본적으로 내 일반적인 접근 방식이 정확하다고 생각하지만 현재 진행할 수 없습니다.)$\mathsf{TUT}$

먼저, 문제 는 다음과 같이 재구성 될 수 있습니다.$\mathsf{TUT}$

질문 집합이 주어 크기의 K , 세트 N 서브 세트 F Q ⊆ P ( Q ) 와 정수 (C)는 , 시퀀스가 존재하지 않는 Σ를 : ⟨ S 1 , ... , S K ⟩ 모두 같은 것을, I ∈ { 1 , … , k } :$Q$$k$$n$$\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$$C$$\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$$i \in\{1,\ldots,k\}$

1. 및 | S 전 | = i ; 과$S_i\subseteq Q$$|S_i|=i$
2. 모든 j > i에 대한 S i ⊂ S j ; 과$S_i \subset S_j$$j>i$
3. ?$\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

세트 는 설명 될 첫 번째 i 질문을 나타냄에 유의한다 . 조건 1과 2는 이러한 해석에 따라 하위 집합이 잘 구성되어 있는지 확인합니다. 조건 3은 매 순간 남지 않은 학생의 수를 계산하므로 실제로 모든 학생의 총 대기 시간까지 합산됩니다.$S_i$$i$

Now, we restrict the size of the subsets in $\mathcal{F}_Q$ to $2$, so we can represent these subsets as edges on a graph where the vertices are the elements from $Q$. (A hardness result for this special case is sufficient for hardness of the general problem)

Now, the problem of minimizing $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ for a single $i$ (this is essentially ignoring condition 2) is equivalent to the following problem, which I dub '$\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$':

$G=(V,E)$$k$$t$$V'\subseteq V$ of size at most $k$ such that the set $\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$ has a size of at least $t$?

This problem is NP-hard, since $k$-clique is a special case of this problem, as this answer shows. However, this is not sufficient to prove $\mathsf{TUT}$ to be NP-hard, since we need to find the maximum for every $i$, while respecting condition 2. This conditions are not satisfied by every sequence $\Sigma$ that satisfies only condition 1 and 3: consider the graph on $7$ vertices with two disjoint cycles, one of size $4$, the other size $3$. For $i=3$, selecting all vertices in the $3$-cycle gives the maximum, while selecting all vertices of the $4$-cycle is optimal for $i=4$.

It seems that condition 2 makes the problem even harder and most certainly not easier, which means $\mathsf{TUT}$ should be NP-hard, but I haven't seen a method to formally prove this.

So, to summarize, I have reduced the question to the following:

• Is it possible to include condition 2 to complete the hardness proof for $\mathsf{TUT}$?

Side note: The formulation I gave makes it tempting to try an iterative algorithm which finds $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ under condition 2 from $i=1\ldots k$, by finding all maximum 'extenstions' of all found maximum sets for $i-1$. This does not lead to an efficient algorithm, as the amount of maximum sets at a single iteration may be exponential in $k$. Additionally, I have not seen a method to determine whether a subset for some $i$ would eventually become the 'global' maximum to prevent checking an exponential amount of subsets.