방향성 비순환 그래프의 전이 폐쇄를 검색하기위한 효율적인 알고리즘

그래프 문제를 해결하려고합니다 (숙제가 아니라 기술을 연습하는 것입니다). DAG $G(V,E)$ 가 주어지며, 여기서 $V$ 는 꼭짓점 세트이고 $E$ 는 모서리입니다. 그래서 그래프는 인접성리스트로 표현 V는 모두 연결 포함하는 세트이다 브이 . 내 임무는 각 정점 v ∈ V 에서 도달 할 수있는 정점을 찾는 것입니다 . 내가 사용하는 솔루션은 O ( V 3 ) 의 복잡성을 가지고 있습니다. $A_v$$v$$v\in V$$O(V^3)$, 전이 폐쇄와 함께,하지만 블로그에서 방법을 밝히지 않았지만 더 빠를 수 있다는 것을 읽었습니다. 누구든지 DAG에서 전이 폐쇄 문제를 해결하는 다른 방법을 더 복잡하게 말할 수 있습니까?

그래프가 비 주기적이라는 사실은이 문제를 훨씬 간단하게 만듭니다.

토폴로지 종류의 우리에게 정점의 순서를 줄 수는 등,이 경우 내가 < j는 , 그때부터 더 에지가없는 V의 J에 다시 V 전 . 모든 모서리가 목록에서 "앞으로"이동할 수 있도록 정점을 나열했습니다.$v_1,v_2,\dots,v_n$$i < j$$v_j$$v_i$

(분석을 수정하고 약간 더 빠른 알고리즘을 제공하도록 편집 됨)

이제 마지막 정점 에서 시작하여이리스트를 거꾸로 돌아갑니다 . v n 의 전이 폐쇄는 그 자체입니다. 또한 추가 브이 N을 행 에지와 각 정점의 전이 폐쇄 V N .$v_n$$v_n$$v_n$$v_n$

서로 버텍스를 들어 최종 뒤쪽에서가는 첫번째 추가 V 나는 자신의 이적 폐쇄, 다음의 전이 폐쇄에 모든 것을 추가 V 난 에 가장자리 정점 모두의 전이 폐쇄 V 전 .$v_i$$v_i$$v_i$$v_i$

최악의 경우 실행 시간은 이며, n 은 꼭짓점 수이고 m ∈ O ( n 2 ) 는 가장자리 수입니다. 위상 정렬에는 시간 O ( n + m ) 가 걸립니다 . 그런 다음 우리는 역방향 패스에서 또 다른 O ( m n ) 작업을 수행합니다. 우리는 목록을 거꾸로 가면서 각 모서리에 대해 최대 n 을 더해야합니다.$O(n+m+nm) = O(n^3)$$n$$m \in O(n^2)$$O(n+m)$$O(mn)$$n$ 누군가의 전이 폐쇄에 대한 정점.

비트 배열로 모든 사람의 전 이적 클로저를 나타내면 상수가 빠르게 향상 될 수 있습니다. 만 가지고 있다고 가정하십시오 . 당신은 비트 단일 64 비트 INT 사용하는 것이 내가 경우 1 내가 그렇지 않으면 내 전이 폐쇄 및 0입니다. 그러면 i 의 전이 클로저에있는 모든 것을 j 에 추가하는 부분 이 정말 빠릅니다. c j | = c i 만 취 합니다. (이진 OR 연산)$n=64$$i$$i$$i$$j$$c_j$$c_i$

들어 , 당신은 배열에 보관하고 약간의 계산을해야 할 것이다, 그러나 그것은 훨씬 더 빨리 객체 세트보다 것이다.$n > 64$

Also, I know the big-$O$ in the very worst case is still $O(n^3)$, but to beat this in practice you'd have to have something much more complex. This algorithm also does very well on sparse graphs.