기능적 언어에 대한 알고리즘 복잡도는 어떻게 모델링됩니까?

알고리즘 복잡도는 하위 수준 세부 사항과 독립적으로 설계되었지만 명령형 모델 (예 : 배열 액세스 및 트리의 노드 수정에 O (1) 시간이 걸림)을 기반으로합니다. 순수한 기능적 언어에서는 그렇지 않습니다. Haskell 목록은 액세스하는 데 선형 시간이 걸립니다. 트리에서 노드를 수정하려면 트리의 새 사본을 작성해야합니다.

그렇다면 기능적 언어에 대한 알고리즘 복잡성의 대체 모델링이 있어야합니까?

당신이 가정하는 경우 -calculus는 함수형 프로그래밍 언어의 좋은 모델입니다, 다음 사람은 생각 다음 -calculus 시간 복잡도의 단순 해 보이는 개념이 있습니다 단지의 수를 계산 - 환원 단계를 .$\lambda$$\lambda$$\beta$$(\lambda x.M)N \rightarrow M[N/x]$

그러나 이것이 좋은 복잡성 측정입니까?

이 질문에 대답하기 위해, 우선 복잡성 측정의 의미를 명확히해야합니다. Slot과 van Emde Boas 논문 은 하나의 좋은 해답을 제시 합니다. 좋은 복잡성 측정은 Turing 기계를 사용하여 정의 된 시간 복잡성의 표준 개념과 다항식 관계를 가져야합니다. 다시 말해, -calculus 항에서 Turing 기계에 이르기까지 을 인코딩하는 '합리적인'이 있어야합니다 예를 들어 일부 다항식 의 경우 , 크기 의 각 항 에 대해: 의 값으로 감소 - 환원 단계를 정확히 값에에 감소$tr(.)$$\lambda$$p$$M$$|M|$$M$$p(|M|)$ $\beta$$tr(M)$$p(|tr(M)|)$튜링 머신의 단계.

오랫동안 이것이 λ- 미적분에서 달성 될 수 있는지는 불분명했습니다. 주요 문제는 다음과 같습니다.

• 지수 크기의 정규형 (다항식 단계로)을 생성하는 항이 있습니다. 정상적인 형태를 쓰더라도 지수 시간이 걸립니다.
• 선택한 축소 전략이 중요한 역할을합니다. 예를 들어, 다항식 수의 병렬 β- 단계 ( 최적의 λ- 감소 의 의미에서 )를 감소 시키지만 복잡성이 비 기본적 (지수보다 나빠짐) 인 용어 군이 존재합니다 .

B. Accattoli와 U. Dal Lago 의 논문 " Beta Reduction is Invariant, Indeed "는 가장 왼쪽에있는 이름 별 호출 감소를 가정하여 다항식 시간 함수 의 복잡성 클래스 P 를 보존하는 '합리적인'인코딩을 보여줌으로써 문제를 명확하게합니다. . 중요한 통찰력은 지수 분출이 '분별없는'이유에서만 발생할 수 있다는 것입니다. 다시 말해, 클래스 P 는 Turing machine steps 계산 또는 (가장 왼쪽) -reductions 를 정의하든 관계없이 동일합니다 .$\beta$

다른 평가 전략의 상황이 무엇인지 잘 모르겠습니다. 공간 복잡성에 대해 비슷한 프로그램이 수행되었음을 알지 못합니다.

알고리즘 복잡도는 하위 수준 세부 정보와 독립적으로 설계되었습니다.

아니 정말. 일부 기계 모델에서는 항상 기본 작업을 계산합니다.

• 튜링 기계를위한 단계.
• RAM에 대한 기본 조작.

아마도 전체 / / -business를 생각하고 있었을 것입니다 . Landau asymptotics를 사용하여 일부 구현 세부 사항을 추상화 할 수 는 있지만 기계 모델의 영향을 제거 하지는 않습니다 . 알고리즘은 실행 시간이 매우 다릅니다. TM과 RAM은 클래스 만 고려하더라도 마찬가지입니다!$\Omega$$\Theta$$O$$\Theta$

따라서 귀하의 질문에는 간단한 대답이 있습니다. 기계 모델을 수정하고 계산할 "작업"을 수정하십시오. 이것은 당신 에게 측정 을 줄 것 입니다. 비 기능 알고리즘과 결과를 비교하려면 프로그램을 RAM (알고리즘 분석) 또는 TM (복잡성 이론)으로 컴파일하고 결과를 분석하는 것이 가장 좋습니다. 이 과정을 쉽게하기 위해 전이 정리가 존재할 수 있습니다.

일부 기본 추상 기계의 관점에서 복잡성 척도를 공식화하는 대신 비용 정의를 언어 정의 자체로 구울 수 있습니다 . 이를 비용 역학 이라고합니다 . 구성 적 방식으로 언어의 모든 평가 규칙에 비용을 첨부합니다. 즉, 운영 비용은 하위 표현 비용의 함수입니다. 이 방법은 기능적 언어에 가장 자연 스럽지만 잘 정의 된 프로그래밍 언어에 사용될 수 있습니다 (물론 불행히도 대부분의 프로그래밍 언어는 잘 정의되지 않았습니다).