P = NP 인 경우 왜 및 가 NP- 완전하지 않습니까?

분명히, 만약 , 모든 언어 를 제외하고 및 될 것이다 - 완전한.P ∅ Σ ∗ N ${\sf P}={\sf NP}$${\sf P}$$\emptyset$$\Sigma^*$${\sf NP}$

왜이 두 언어가 특별한가요? 수락하거나 수락하지 않을 때 언어를 출력하여 다른 언어를 줄일 수 없습니까 ?${\sf P}$

문자열이 없으므로 계산하는 모든 기계는 항상 거부하므로 다른 문제의 예 인스턴스를 다른 것으로 매핑 할 수 없습니다. 마찬가지로 경우 인스턴스 없음을 매핑 할 항목이 없습니다.Σ $\emptyset$$\Sigma^{\ast}$

B 가 A 보다 "단단하다"는 것을 증명 하려면 문제 에서 문제 B 로 다항식 축소가 필요합니다 . 우리는 인스턴스가 바뀌는 다항식 환원 구축 X 의 을 인스턴스에 F ( X ) 의 B 되도록 X ∈ IFF F ( X ) ∈ B .$A$$B$$B$$A$$x$$A$$f(x)$$B$$x∈A$$f(x)∈B$

함수 는 다항식이어야합니다. 경우 P = N P 및 A가 무소음 문제이고, 다음 f는 그 자체가 문제 해결 문제 및 임베드 모든 X ∈ 어떤 요소에 (Y) 의 B 및 X ∉ 일부 요소에 Z 아닌 B .$f$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$f$$A$$x∈A$$y$$B$$x\notin A$$z$$B$

경우 하나 인 ∅ 또는 Σ * 다음, Y 또는 Z 것을 달리 추론 방송 위에 존재할 수 B가 어려워보다 .$B$$∅$$Σ^*$$y$$z$$B$$A$

참고 사항 : 이전 답변은 괜찮지 만 올바른 사소한 감소와 그리 멀지 않습니다.

만약 다음 모든 L ∈ N P는 언어와 카프의 환원성는 { 1 } (단 다항식 시간마다 매핑 X ∈ L 1 매 X ∉ L 사소 A는, 0) 희소 언어$\sf{P} = \sf{NP}$$L \in \sf{NP}$$\{1\}$$x \in L$$x \notin L$

반대 방향 : " 완전한 언어가 희소 세트로 환원 가능한 Karp이면 P = N P "는 확실히 더 흥미롭고 Mahaney의 정리 로 알려져 있습니다 .$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$

하자 일정하고 , A는 모든되도록 설정 될 N , A는 기껏 갖는 N C 길이의 문자열 N . 경우 A는 이고 N P는 다음 - 완전한 P = N P .$c$$A$$n$$A$$n^c$$n$$A$$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$