다항식 시간과 강한 다항식 시간에서 실행되는 알고리즘의 정의

Wikipedia 는 그것을 정의합니다

알고리즘 의 실행 시간이 알고리즘 입력의 크기에서 다항식에 의해 상한 인 경우, 즉 일부 상수 k에 대해 경우 알고리즘은 다항식 시간 이라고합니다 . $T(n) = O(n^k)$

의 알고리즘 실행 강하게 다항식 시간 의 경우 [8]

연산 계산 모델의 연산 수는 입력 인스턴스의 정수 수의 다항식에 의해 제한됩니다. 과

알고리즘이 사용하는 공간은 입력 크기의 다항식에 의해 제한됩니다.

에서 베른하르트 코트, 옌스 Vygen, 조합 최적화 (Combinatorial Optimization) :

정의 1.4.

합리적인 입력을 가진 알고리즘은 다항식 시간 에 실행된다고 합니다

시간에 실행되도록 정수 k가 있으며 , 여기서 n은 입력 크기입니다. $O(n^k)$

중간 계산의 모든 숫자는 비트로 저장 될 수 있습니다 . $O(n^k)$

임의의 입력을 가진 알고리즘은 다항식 시간 에 강하게 실행된다고 합니다.

n 개의 숫자로 구성된 입력에 대해 $O(n^k)$ 시간에 실행되도록 정수 k가 있으며

합리적인 입력을 위해 다항식 시간으로 실행됩니다.

내가 틀렸다면 정정 해주세요. 다음은 내가 눈에 띄는 차이점입니다.

다항식 시간 알고리즘의 경우 Korte와 Vygen의 정의는 "Wikipedia의 정의 + 다항식 저장 공간"입니다.
강력한 다항식 시간 알고리즘의 경우 Korte 및 Vygen의 정의와 Wikipedia의 정의에는 입력 저장 크기에서 다항식 시간이 필요합니다. 그러나 K와 V는 입력의 수에 다항식 시간이 추가로 필요한 반면, Wikipedia는 입력 크기에 다항식 저장 공간이 추가로 필요합니다.

이 두 개념에 대한 K와 V와 Wikipedia의 정의는 각각 동일합니까? 그들 사이에 어떤 다른 차이점과 관계가 있습니까?

감사합니다.

complexity-theory

— 모두를위한 StackExchange
소스

defn 바로 다음의 wikipedia 섹션에 꽤 좋은 설명이 있습니다. 숫자를 나타내는 비트 수와 관련이 있으며 매우 큰 숫자는 복잡도 측정에 영향을 줄 수 있습니다. K & V의 선언은 "가까운"것으로 생각됩니다. 합리적 입력에 관해서는, 합리적 연산이 크기를 크게 늘리지 않는다는 증거가 필요합니다. 모든 입력의 LCD를 찾고 LCD에서 숫자로 모든 산술을 수행하여 이것이 보일 수 있다고 생각하십시오.

— vzn

@vzn : Wikipedia의 설명은 (1) 산술 대 튜링 머신에 적합하지만 강력한 다목적 목적 및 정의와 관련하여 매우 얕으며 (2) GCD의 예에서 완전히 잘못되었습니다.

— alexei

공식적인 정의를하기 전에 "강한 / 약한"분류가 무엇을 구별해야하는지 고려하십시오.

먼저 튜링 머신에서 하나를 실행 해보십시오. 둘 다 이진 인코딩 된 입력 길이에서 다항식으로 여러 단계로 실행됩니다. 결과적으로,이 둘에 의해 수행되는 산술 연산의 수 는 이진 인코딩 된 입력 길이에서 다항식이어야 합니다 . 따라서 Turing Machine의 작동 시간은 입력 값의 수 또는 크기가 증가함에 따라 다항식으로 증가합니다. 후자를 강조하기 위해, 강한 것조차도 더 큰 단계에서 더 많은 TM 단계를 취할 것입니다 (적어도 여분의 비트를 읽어야 함). 어떤 상황에서도 관계가없는 의사 다항식 시간의 경우와 같이 지수가됩니다. 튜링 기계만으로는 근본적인 차이를 감지 할 수 없습니다.

이제 모든 연산이 정수에 대한 산술 연산이고 산술 연산이 인 산술 기계에서 각각 실행하는 것을 고려하십시오 . 입력 숫자의 크기를 늘리면 이진 인코딩 된 입력의 길이가 길어지고 약한 알고리즘의 실행 시간이 증가하지만 강한 알고리즘의 실행 시간은 숫자에 의해 제한 될 수 있으므로 변경되지 않습니다 변경하지 않은 입력 번호 (예 : 매트릭스 곱셈 대 유클리드의 GCD). $O(1)$

입력 숫자의 수에서 다항식의 수의 산술 연산에서 실행되는 알고리즘 세트는 잘 정의되어 있지만 이진 인코딩 된 입력의 길이에 지수 단계 TM 수를 취하는 알고리즘 클래스와 겹칩니다 ( 예 참조 ). 따라서이 집합의 경우 두 번째 단락의 속성이 유지되지 않습니다. 원하지 않는 교차를 배제하기 위해 다항식 TM 공간 [*]에 대한 조건을 추가합니다.

[1]에서 이는 두 가지 방식으로 설명됩니다.

알고리즘이 다항식 공간 알고리즘이고 입력 수의 수에서 다항식에 의해 제한되는 다수의 기본 산술 연산을 수행하는 경우 알고리즘은 다항식 시간에 강하게 실행됩니다.
다항식 알고리즘은 표준 Turing machine 모델의 다항식 공간 알고리즘과 산술 모델의 다항식 시간 알고리즘입니다 (설명은 이 질문 참조 ).

이미 "효율적인"알고리즘의 하위 분류는 실제 컴퓨터가 튜링 기계보다 산술 기계와 유사하기 때문에 유용 할 수 있으므로 하위 클래스 는 다항식 범위의 길이가 길면 실제 기계에서 더 빠르게 실행될 알고리즘을 식별 할 수 있습니다. 이진으로 인코딩 된 입력의 값은 달리 비교할 수 있습니다 (예 : 강한 대 약한 ) $O(n^3)$ $O(n^2)$

[*] 두 번째 조건은 모든 곳에서 다항식 공간으로 표시되는 반면, 다항식 시간이 필요합니다. 전자는 더 포괄적이지만 이상합니다. 다항식 시간보다 오래 걸리는 다항식 알고리즘이 있습니까? 반복 제곱 예제는 다항식 시간이나 다항식 공간을 사용하지 않습니다.

[1] Grötschel, Martin; László Lovász, Alexander Schrijver (1988). "복잡성, 오라클 및 수치 계산". 기하 알고리즘 및 조합 최적화. 봄 병아리. ISBN 0-387-13624-X.

— 알렉세이
소스