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허락하다 $L_\epsilon$ 모두의 언어가되다 $2$-CNF 공식 $\varphi$적어도 $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ 의 $\varphi$의 조항을 충족시킬 수 있습니다.

나는 존재한다는 것을 증명해야한다 $\epsilon'$ 성 $L_\epsilon$ 이다 $\mathsf{NP}$-어려운 $\epsilon<\epsilon'$.

우리는 알고 $\text{Max}2\text{Sat}$ 대략적 일 수있다 $\frac{55}{56}$ 에서 절의 precent $\text{Max}3\text{Sat}$절감. 이 문제를 어떻게 해결해야합니까?

그의 유명한 논문에서, Håstad 는 MAX2SAT를 근사화하는 것보다 NP-hard라는 것을 보여줍니다$21/22$. 이것은 아마도 인스턴스를 구별하기 위해 NP가 어렵다는 것을 의미합니다.$\leq \alpha$ 만족스러운 사례 $\geq (22/21) \alpha$ 일부는 만족할 만하다 $\alpha \geq 1/2$. 이제 인스턴스를 패딩하여$p$새로운 인스턴스의 분열, 나머지는 정확히 $1/2$-만족 (이것은 형식의 절 그룹으로 구성되어 있음) $a \land \lnot a$). 숫자는 이제$1/2 + p (\alpha - 1/2)$ 과 $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$. 후자는 숫자에 가깝게 만들 수 있습니다$1/2$ 우리가 원하는대로

ε 이 유리수 라는 것을 알고 있다면 , Max-2-SAT가 진술을 증명하기 위해 근사 할 필요는 없습니다. Max-2-SAT의 NP-hardness에 대한 전형적인 증거 (예 : Papadimitriou 의 교과서 Computational Complexity 에있는 것)는 실제로 L _1/5 의 NP-completeness를 증명합니다 . 의 NP-경도 증명 L의 _ε 긍정적 유리수 대 ε <1/5, 우리는 줄일 수 L _{의 1/5} 에 L의 _ε 는 다음과 같이하십시오 2CNF 식 주어진 φ (의 인스턴스 L _1/5 ) 할 수 m이 될 그 안의 절 수 보자 R 과s 는 (1 / 5- ε ) mr = 2εs 가 유지 되는 양의 정수 입니다. 그런 다음 r 번에 대해 φ 를 반복 하고 s 쌍의 모순되는 절을 추가 하여 2CNF 공식 (예 : L _ε )을 구성하십시오 . 간단한 계산은 이것이 실제로 L _1/5 에서 L _ε 로 감소한 것을 보여줍니다 .

이 감소 는 ε 이 합리적인 경우에만 명확하게 작동합니다. 그렇지 않으면 r 과 s 를 정수로 사용할 수 없기 때문 입니다. Yuval Filmus가 그의 답변에 썼 듯이, ε 이 반드시 합리적이지 않은 일반적인 경우 는 근사치가 필요한 것으로 보입니다.