자체 파생 상품과 같은 사소한 유형이 있습니까?

정규 유형의 파생물 이라는 기사 는 해당 유형의 단일 홀 컨텍스트 유형을 보여줍니다. 하나의 홀 컨텍스트 인 유형의 "지퍼"는 대수 유형의 미분 규칙을 따릅니다.

우리는 :

\begin{aligned} \partial_{엑스} 엑스 & \mapsto 1 \\ \partial_{엑스} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{엑스} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{엑스} (에스 + 티) & \mapsto \partial_{엑스} 에스 + \partial_{엑스} 티 \\ \partial_{엑스} (에스 \times 티) & \mapsto \partial_{엑스} 에스 \times 티 + 에스 \times \partial_{엑스} 티 \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

이 모델을 사용하여 단위의 미분이 무효이고 목록의 미분이 2 개의 목록 (접두사 시간 접미사)의 곱 등을 도출 할 수 있습니다.

당연히 물어볼 질문은 "자체 파생 상품은 어떤 유형입니까?"입니다. 물론 우리는 이미 . 이것은 void (무인 유형)가 자체 파생물이지만 매우 흥미롭지는 않습니다. 평범한 무한 계산법에서 0의 도함수가 0이라는 사실과 유사합니다. $\partial_x 0 \mapsto 0$

방정식 에 대한 다른 솔루션이 있습니까? 특히, 대수 형 에 의 아날로그가 있습니까? 그 이유는 무엇? $\partial_x T \mapsto T$ $\partial_x e^x = e^x$

type-theory algebra

— 매튜 피지 악
소스

조합 종의 이론이 있으며, 여기에는 (유한) 세트의 종에 해당하지만, 대수적 데이터 유형에 해당하지 않습니다.

— Derek Elkins는 SE를

"같음"은 무슨 뜻입니까? 당신의 세계에서 와 같은가요? 방법에 대한 와

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer 전자는 그렇고 후자는 아니다. 은 반복 된 제품 내 마음에. 즉, 나는 내 마음에 엄격한 유형 평등 모델을 가지고 있지 않으며, 당신이 모델을 가지고 있다면 그것을 기꺼이 읽을 수 있다고 지적 할 수 있습니다.

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— Matthew Piziak

@DerekElkins, McBride의 또 다른 기사 인 Clokers to the Left, Jokers to Right 는 "유한 구조의 경우 [지퍼에 대한 연산자 반복]은 데이터 유형의 파워 시리즈 공식화를 야기합니다. 직접 왼쪽에서 오른쪽으로 모든 요소를 찾는 것입니다. 따라서 조합 종의 개념과는 상당한 관련이 있습니다. " 따라서 조합 종이이 질문의 맥락에서 중요한 역할을한다고해도 놀라지 않을 것입니다.

— Matthew Piziak

@MatthewPiziak 그들은 확실히합니다. 브렌트 요 르게이 (Brent Yorgey)는 이것에 대해 상당히 이야기했다 . 그의 논문 도 참조하십시오 .

— Derek Elkins가 SE를

답변:

유한 멀티 세트 고려하십시오 . 요소는 순열에 의해 되는 의해 주어 지므로 임의위한 . 그런 것의 요소에 대한 원홀 컨텍스트는 무엇입니까? 구멍의 위치를 선택하기 위해 을 가져야 했으므로 나머지 요소 가 남았지 만 어느 부분이 더 현명하지는 않았습니다. (구멍의 위치를 선택하면 하나의 목록이 두 섹션으로 절단되고 두 번째 파생 컷은 해당 섹션 중 하나를 선택하고 편집기의 "점"및 "표시"와 같이 추가로 절단하는 목록과는 다릅니다. ) 하나의 구멍 컨텍스트 $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ $n-1$ $\mathbf{Bag}\:X$ 는 이므로 모든 는 그대로 발생할 수 있습니다. 공간적으로 생각하면 의 파생어는 그 자체가되어야합니다. $\mathbf{Bag}\:X$ $\mathbf{Bag}\:X$ $\mathbf{Bag}\:X$

지금,

B a g X = \sum_{n \in N} X^{n} / S_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

순서 의 순열 그룹까지 요소 의 튜플을 갖는 튜플 크기 의 선택 의 전력 계열 확장을 정확히 제공합니다 . $n$ $n$ $n!$ $e^x$

소박 우리는 도형의 집합으로 컨테이너 유형을 특성화 할 수 및 포지션의 형상 의존성 가족 : 용기가 주어진다 그래서 모양의 선택과 위치에서 요소까지의지도. 가방 등으로 인해 여분의 왜곡이 있습니다. $S$ $P$

\sum_{s : S} X^{(P s)}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

가방의 "모양"은 . "위치"는 크기 의 유한 세트 인 이지만, 위치에서 요소로의 맵은 순열에서 변하지 않아야합니다 . 가방의 배열을 "감지"하는 봉지에 접근 할 수있는 방법이 없어야합니다. $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

이스트 미들랜드 컨테이너 컨소시엄은 프로그램 구조 2004의 수학에 대한 쿼터 런트 유형의 다형성 프로그램 구성에서 이러한 구조에 대해 썼습니다 . 쿼터 트 컨테이너는 자형 그룹이 위치에 작용할 수 있도록하여 "모양"및 "위치"별로 구조의 일반적인 분석을 확장합니다. 미분 와 같은 구조 를 파생 와 함께 고려할 수 있습니다. 정렬되지 않은 -tuple은 의해 주어집니다및 그 파생어 ( 이 순서가없는 튜플 인 경우). 가방은 이것들의 합계를 취합니다. 주기적 -tuples, 비슷한 게임을 할 수 있습니다 $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ $n$ $X^n/n$ , 구멍의 위치를 선택하면 회전이 한 지점으로 고정되고 튜플은 이며 튜플은 순열없이 작습니다. $X^{n-1}$

"유형 나누기"는 일반적으로 이해하기 어렵지만 조합 그룹에서와 같이 순열 그룹에 의한 인용은 의미가 있고 재미있게 연주 할 수 있습니다. (연습 : 정렬되지 않은 숫자 쌍 대한 구조적 유도 원리를 공식화하고 이를 사용하여 더하기와 곱셈을 구현하여 구성에 의해 정형화 되도록합니다.) $\mathbb{N}^2/2$

컨테이너의 "모양 및 위치"특성은 어느 쪽에도 유한성을 부과하지 않습니다. 조합 종은 모양이 아닌 크기 로 구성되는 경향이 있으며 , 이는 항을 수집하고 각 지수에 대한 계수를 계산하는 데 도움이됩니다. 유한 위치 세트 및 조합 종을 가진 쿼터 컨테이너는 기본적으로 동일한 물질에서 다른 스핀입니다.

— 돼지 세공인
소스

원작자가 등장! 이 아름다운 결과를 보여 주셔서 감사합니다.

— Matthew Piziak

무한 합은 어떻습니까 도함수는 로, 합의 연관성 및 commutativity에 의해 원본과 같습니다.

\sum_{나는, j \in 엔} {엑스}^{나는} ?

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{나는, j \in 엔} \underset{나는 + 1}{\underset{⏟}{{엑스}^{나는} + \dots + {엑스}^{나는}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

또한, 무한 합과 동일하다 우리 유도체를 계산하여 목록을 시도 할 수 있으므로). $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— 안드레이 바우어
소스

목록의 미분은 목록 쌍입니다 (접두사 시간 접미사). 합산 규칙에 따르면 목록 목록의 파생물은 목록 쌍의 목록입니다. 목록 쌍 목록이 목록 목록과 동형입니까?

— Matthew Piziak

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

n

$n$

i

$i$